Каждый способ облицовки подразумевает использование квадратов и/или домино. Только квадраты задействованы в единственном варианте, в прочих есть хотя бы одна костяшка домино. Возьмем это за основу нового вопроса.
Вопрос: Сколько существует вариантов облицовки квадратами и костяшками домино прямоугольной рамки 1 × (n + 2), включающих по меньшей мере одну костяшку домино?
Сейчас мы найдем два ответа на этот вопрос. Так как оба будут верны, между числами мы сможем уверенно поставить знак равенства.
Один из ответов мы уже обсуждали. Есть Fn + 2 вариантов укладки. Только один из них подразумевает использование исключительно квадратов, без домино.
Таким образом, ответ № 1 на наш вопрос таков: Fn + 2 – 1.
Второй ответ должен быть – я надеюсь – левой частью уравнения (*). Посмотрим, как это работает.
Нужно пересчитать варианты заполнения рамки, включающие хотя бы одну костяшку домино. Давайте подумаем, где будет расположена самая первая костяшка. Есть n + 2 позиций, и первая костяшка может располагаться в позициях от 1 до n + 1.
Рассмотрим случай n = 4. Мы ищем варианты заполнения рамки 1 × 6, задействующие хотя бы одну костяшку домино. Мы знаем ответ: F6 – 1 = 13 – 1 = 12, но нам необходимо получить его иным путем.
Первая костяшка домино может занимать следующие позиции:
Первая колонка демонстрирует случай, когда костяшка находится на первой позиции, вторая – когда костяшка на второй, и т. д.
Сколько вариантов в каждой колонке?
В первой колонке – пять вариантов. Если отбросить домино слева, мы получим ровно F4 = 5 вариантов для прямоугольника 1 × 4.
Во второй колонке – три варианта. Отбросим домино и квадрат слева. Мы получим F3 = 3 варианта для прямоугольника 1 × 3.
Аналогично для других колонок. Вот что мы обнаружили:
Таким образом, количество способов замостить квадратами и домино (хотя бы одной костяшкой) прямоугольную рамку 1 × 6 равно
F4 + F3 + F2 + F1 + F0 = 12.
Вывод:
F0 + F1 + F2 + F3 + F4 = 12 = F6 – 1.
Рассмотрим общий случай. Нам дана рамка длиной n + 2. Сколько есть вариантов ее заполнения, при которых первая костяшка домино находится на некой позиции k? В этом случае первые k – 1 позиций заняты квадратами. Таким образом, в общей сложности занята k + 1 позиция[99]. Оставшиеся (n + 2) – (k + 1) = n – k + 1 можно заполнить любыми способами. Это дает Fn – k + 1 вариантов. Построим диаграмму:
Если k меняется от 1 до n + 1, величина n – k + 1 меняется от 0 до n. Таким образом, количество вариантов заполнения нашей рамки с использованием хотя бы одной костяшки домино равно
Fn + Fn – 1 + … + F1 + F0.
Если поставить слагаемые в обратном порядке, мы получим левую часть выражения (*). Таким образом, мы нашли второй ответ на поставленный вопрос:
F0 + F1 + … + Fn.
Итак, у нас есть два ответа на вопрос. Величины, полученные с помощью двух выведенных нами формул, совпадают, и тождество (*) доказано.
Соотношение чисел Фибоначчи и золотое сечениеСложение двух следующих друг за другом чисел Фибоначчи дает очередное число Фибоначчи. В этом разделе мы затронем вопрос поинтереснее: что будет, если мы поделим число Фибоначчи на предшествующее ему в ряду? Посчитаем соотношение Для возрастающих значений k. В таблице вы можете видеть соотношения от
Чем больше становятся числа Фибоначчи, тем ближе соотношение к константе, примерно равной 1,61803.
Это число – вы будете удивлены – достаточно известное, и если вы введете его в поисковую систему, вывалится уйма страниц о золотом сечении. Что это такое?
Соотношение соседних чисел Фибоначчи не одинаково. Однако оно почти одинаково, если числа достаточно велики. Давайте найдем формулу для числа 1,61803 и для этого на время будем считать, что все соотношения одинаковы. Введем обозначение x:
Это значит, что Fk + 1 = xFk, Fk + 2 = xFk + 1 и т. д. Можно переформулировать:
Fk + 2 = xFk + 1 = x²Fk.
Но мы же знаем, что Fk + 2 = Fk + 1 + Fk. Таким образом,
x²Fk = xFk + Fk.
Если мы поделим обе части на Fk и перегруппируем слагаемые, то получим квадратное уравнение:
x² – x – 1 = 0.
Оно имеет два решения:
Соотношение должно быть положительным. И вот мы получили знакомое нам число. Обычно для обозначения золотого сечения используют греческую букву ϕ (фи):
Мы уже приметили, что соотношение соседних чисел Фибоначчи приближается (стремится) к ϕ. Это замечательно. Это дает нам еще один способ вычислять приблизительные значения чисел Фибоначчи.
Последовательность чисел Фибоначчи – это ряд F0, F1, F2, F3, F4, F5… Если все соотношения будут одинаковы, мы получим формулу:
Fn = cϕⁿ.
Здесь с – еще одна константа. Сравним округленные значения Fn и ϕⁿ для разных n:
Для больших значений n соотношение Это число равно в точности Другими словами,
Насколько хороша эта формула? Настало время новых подсчетов!
Обратите внимание: если округлить до ближайшего целого числа, мы получим в точности Fn.
Если вы не хотите утруждать себя округлениями до целого числа, то формула, названная в честь Жака Бине[100], даст вам точное значение:
Глава 10
Факториал!
Книги на полкеСколькими способами можно расставить ваши книги на полке? Разумеется, это зависит от того, сколько у вас книг. Начнем с простейшего примера. Допустим, ваша библиотека насчитывает всего три книги с незамысловатыми названиями A, B и C.
Вначале решим, какую книгу поставить с левого края. Пусть это будет A. В таком случае остается всего два варианта расположения книг на полке: ABC и ACB. То есть, когда A стоит слева, существует две комбинации.
Если поставить на левую позицию книгу B, тогда снова возможны два варианта: BAC и BCA. Если слева стоит книга C, появляются еще две комбинации: CAB и CBA.
В общей сложности есть шесть вариантов расстановки книг:
ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA.
Теперь представим, что у нас появилась четвертая книга: D. Сколькими способами можно расставить книги теперь? Используем тот же метод. Для начала решим, какую книгу поставить слева; пусть на первый раз снова будет A. Оставшиеся три книги, как мы знаем, можно расставить шестью способами –
