175
Рисунок расплющенного многогранника – хороший пример графа, или математической модели определенной сетевой структуры.
176
Архимедовыми телами называют выпуклые многогранники, все многогранные углы которых равны, а грани представляют собой правильные многоугольники нескольких типов. – Прим. пер.
177
Вацлав Серпинский (1882–1969) – польский математик, профессор Варшавского университета. Известен работами по теории множеств, теории чисел, теории функций, а также топологии. – Прим. пер.
178
Если говорить строго, мы вырезаем треугольник внутри, но не его границы; в конце концов не останется ничего, кроме этих линий.
179
Также известен под названием «салфетка Серпинского» и «решетка Серпинского». – Прим. пер.
180
Обратите внимание, что площадь равностороннего треугольника со стороной 1 не равна 1. Для удобства вычислений мы рассматриваем другой треугольник.
181
Напоминаю: с точки зрения математики окружность – одномерная кривая, а круг – двумерная фигура: часть плоскости внутри окружности и сама окружность.
182
Обратите внимание, что мы записали g как g1. Это ничего не меняет, но служит неким предзнаменованием.
183
Ранее мы брали за основу равносторонний треугольник. Но он не помещается в квадрат. Поэтому будем рассматривать равнобедренный треугольник с основанием и высотой, равными 1. Принцип построения остается прежним.
184
Увеличение числа клеточек в три раза вытекает из самоподобия треугольника Серпинского. Посмотрите на квадрат с 16 клеточками. Легко заметить, что треугольник Серпинского захватывает 12 клеточек. Теперь посмотрите на следующий квадрат, но не спешите подсчитывать клеточки. Просто обратите внимание, что новый треугольник состоит из трех уменьшенных копий предыдущего. Каждая из них захватывает всё те же 12 клеточек. Общее число клеточек 36. Когда вы переведете взгляд на следующий квадрат, вы снова обнаружите три копии предыдущего треугольника. Очевидно, что они захватывают 108 клеточек.
185
Символ ~ означает примерное равенство, точность которого возрастает с ростом величины переменных.
186
Нильс Фабиан Хельге фон Кох (1870–1924) – шведский математик, специалист по теории чисел. Статья о снежинке Коха вышла в 1904 году. Это один из первых изученных фракталов. – Прим. пер.
187
Все здание современной математики покоится на концепции множеств – неупорядоченного набора объектов (см. главу 8).
188
На самом деле «Начала» Евклида открывает именно раздел определений основных объектов. Например: «точка есть то, что не имеет частей»; «линия – длина без ширины»; «поверхность есть то, что имеет только длину и ширину»; «плоская поверхность есть та, которая равно лежит на всех своих линиях». См.: Начала Евклида. Перевод с греческого и комментарии Д. Д. Мордухай-Болтовского при редакционном участии И. Н. Веселовского и М. Я. Выгодского. – М. – Л.: ГТТИ, 1949–1951. – Прим. пер.
189
Евклид определял прямой угол следующим образом: это один из углов, возникающих в том случае, если две прямые пересекаются и все четыре получившихся угла равны.
190
Прямые называют параллельными, если они не имеют точек пересечения. Мы использовали эту аксиому, когда доказывали, что сумма углов треугольника равна 180°.
191
Большинство математиков полагало, что замена постулата о параллельных прямых приведет к противоречию. Николай Лобачевский, математик из России, живший в XIX веке, показал, что предположение (B) ведет не к противоречию, а к геометрии нового типа, названной в его честь геометрией Лобачевского.
192
Таким образом, параллельных прямых в этой системе не существует: всякая пара прямых имеет точку пересечения. Это разительное отличие от евклидовой геометрии.
193
Система из семи точек и семи прямых называется плоскостью Фано.
194
Эту модель гиперболической плоскости называют диском Пуанкаре в честь французского математика Анри Пуанкаре (1854–1912).
195
Если мы возьмем другой масштаб евклидовой плоскости, она не изменится. Гиперболическая плоскость, напротив, преображается при смене масштаба. Число K зависит от него.
196
Разбиение плоскости на многоугольники в математики называют паркетом, мозаикой или замощением. Здесь мы обсуждаем замощение плоскости правильными n-угольниками.
197
Замощение гиперболической плоскости вдохновляло многих художников, среди них наиболее известен Мауриц Эшер.
198
Отношение называется транзитивным, если оно выполняется для пары (А, С) при условии, что выполняется для пар (А, В) и (В, С). Нетранзитивными называют отношения, не удовлетворяющие этому свойству. Например: волк ест козу, коза ест капусту, но волк не ест капусту. – Прим. пер.
199
Инди-культура (от англ. independent – «независимый») противопоставляет себя коммерческому мейнстриму. – Прим. пер.
200
Техасский холдем – одна из самых популярных разновидностей покера с двумя «карманными» (закрытыми) и пятью «общими» (открытыми) картами. Выигрывает наилучший набор из пяти карт, в котором игрок может использовать любые из пяти общих карт и двух своих. – Прим. пер.
201
Стрит (англ.
