Следующий столбец – восьмерки. Складываем 1 и 0 и 1, получаем 10, пишем 0 и держим 1 в уме:
Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:
Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.
Переведем это на язык десятичных чисел:
101002 = 20, 11102 = 14, 1000102 = 34.
Разумеется, 20 + 14 = 34.
Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.
Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:
× 8 + × 4 + × 2 + × 1.
Умножение на 2:
× 16 + × 8 + × 4 + × 2 + × 1.
Лишний ноль на конце дает 11010.
Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 810 (10002) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа.
Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:
1011 = 1000 + 10 + 1.
Умножение на 11010 можно представить так:
11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010 + 11010 + 11010.
Удобнее умножать в столбик:
А вот и ответ:
Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:
110102 = 16 + 8 + 2 = 26;
10112 = 8 + 2 + 1 = 11;
1000111102 = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.
Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.
ДробиВ десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую[35], мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:
Двоичная система тоже позволяет записывать дробные значения. Каждую следующую цифру после запятой[36] мы умножаем на предыдущую степень двойки. Например, 101,0112 означает:
Непривычный способ записать одну вторую: 0,12!
Есть и другие системы счисления, помимо десятичной, единичной и двоичной[37]. В третичной системе мы пользуемся цифрами 0, 1 и 2, здесь все строится на степенях тройки. Скажем, 11023 означает:
1 × 27 + 1 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 38.
В дробях первая позиция справа от запятой означает умножение на одну третью, вторая позиция – на одну девятую и т. д.:
Если представить 42 в виде суммы степеней двойки, мы увидим, что это 101010. А число 11011 можно представить как 16 + 8 + 2 + 1 = 27.
Глава 3
0,99999999999…
Безусловно, простейший способ записать число один – это цифра 1. Но вы можете столкнуться с тем фактом, что уходящая в бесконечность десятичная дробь 0,999999… представляет собой другой способ записи того же числа. В главе 3 мы присмотримся к этому обстоятельству повнимательнее.
Что означают десятичные числа?Привычная нам десятичная система счисления удобна и работает отменно, почти без перебоев. Она хорошо подходит для записи целых чисел. 235 – это компактный способ сказать «две сотни, три десятка и пять единиц». Или, на языке математики:
235 = 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1.
Для некоторых дробных величин десятичная система счисления также чрезвычайно эффективна. Возьмем число 3/4. В десятичной системе его можно записать так: 0,75. Эта запись означает:
Десятичная дробь 0,75 в точности равна 3/4.
Тем не менее если мы предпримем попытку записать 2/7 в виде десятичной дроби, то потерпим фиаско. Если мы попробуем разделить два на семь с помощью калькулятора, то получим неприглядное 0,28571429, причем это будет лишь приближенное значение, не равное в точности 2/7.
Такие числа, как 3/8, могут быть представлены в виде десятичной дроби, потому что знаменатель в них легко представить в виде одной из степеней десятки: 3/8 = 375/1000. Но нельзя найти целое число A, для которого выполнялось бы условие:
так как это подразумевает 2 × 10ⁿ = 7 × A. Ни одно целое число A не подходит в качестве решения уравнения, потому что левая сторона не делится на 7, а правая сторона делится. Представить 2/7 в качестве десятичной дроби невозможно. Если только не…
Десятичные дроби с бесконечным числом символовИдея десятичной дроби с бесконечным числом символов содержит в себе один подвох, и сейчас мы выясним, какой именно. Вернемся к началу главы: что означает 0,99999… и почему оно равно 1?
Для начала давайте представим 0,999999… не как одно число, а как ряд чисел, где каждое следующее – это предыдущее с приделанной справа цифрой 9. Вот как выглядит такой ряд:
0,9 0,99 0,999 0,9999 … (*)
и так далее ad infinitum[38]. Ясно, что элементы ряда (*) постоянно возрастают. Каждый следующий элемент пусть ненамного, но больше предыдущего.
Докажем два факта:
1. Все элементы возрастающего ряда (*) меньше 1.
2. Тем не менее для любого числа x, которое меньше 1, рано или поздно отыщется элемент ряда (*), превышающий x.
Представим элементы ряда (*) в виде обыкновенных дробей:
Есть компактный способ записать эти дроби. Знаменатели представляют собой степени десяти: 101, 10², 10³ и т. д. Каждый числитель на единицу меньше соответствующего ему знаменателя. Перепишем ряд снова:
Очевидно, что n-ный элемент ряда будет выглядеть так:
Легко убедиться, что все члены ряда (*) меньше 1, потому что числитель всякий раз оказывается меньше знаменателя.
Теперь докажем второе утверждение: если число x меньше 1, рано или поздно найдется элемент ряда (*), превышающий x.
Так как x меньше 1, разность (1 – x) положительна. Даже если x невероятно близок к единице, разница между ними будет мизерная, но положительная. Умножим (1 – x) на одну из степеней десяти:
10ⁿ × (1 – x).
Так как разность (1 – x) положительна, это произведение будет больше 1, если 10ⁿ достаточно велико[39]:
10ⁿ × (1 – x) > 1.
Раскроем скобки:
10ⁿ – 10ⁿx >