Первые три минуты

тогдашними космологическими идеями, его примечательной особенностью было предсказание красного смещения, пропорционального расстоянию! Европейские астрономы не знали тогда о существовании значительных красных смещений у туманностей. Однако в конце первой мировой войны новости из Америки о наблюдении больших красных смещений достигли Европы, и модель де Ситтера немедленно приобрела широкую известность. Действительно, в 1922 году, когда английский астроном Артур Эддингтон написал первую исчерпывающую книгу по общей теории относительности, он проанализировал существовавшие данные по красным смещениям, пользуясь моделью де Ситтера. Сам Хаббл говорил, что именно модель де Ситтера привлекла внимание астрономов к важности определения зависимости красных смещений от расстояния и, может быть, эту модель держал он в глубине своего сознания, когда обнаружил в 1929 году пропорциональность красных смещений расстоянию.

В наши дни такой упор на модель де Ситтера представляется неоправданным. С одной стороны, это на самом деле вообще не статическая модель — она кажется статической благодаря своеобразному способу введения пространственных координат, но расстояние между «типичными» наблюдателями в этой модели реально растет со временем, и именно это общее разбегание обусловливает красные смещения. С другой стороны, причина того, почему в модели де Ситтера красное смещение оказалось пропорциональным расстоянию, заключается просто в том, что эта модель удовлетворяет Космологическому Принципу, а, как мы видели, в любой теории, удовлетворяющей этому принципу, следует ожидать пропорциональности относительной скорости и расстояния.

Во всяком случае, открытие разбегания далеких галактик вскоре повысило интерес к космологическим моделям, которые были однородны и изотропны, но нестатичны. Космологическая постоянная оказалась поэтому уже ненужной в уравнениях гравитационного поля, и Эйнштейн даже выразил сожаление, что он вообще рассматривал подобное изменение своих исходных уравнений. В 1922 году советским математиком Александром Фридманом было найдено общее однородное и изотропное решение первоначальных уравнений Эйнштейна[12]. Именно эти фридмановские модели, основанные на исходных уравнениях поля Эйнштейна, а не модели Эйнштейна и де Ситтера, обеспечили математический фундамент большинству современных космологических теорий.

Существует два разных типа моделей Фридмана.

Если средняя плотность материи во Вселенной меньше некоторой критической величины или равна ей, то тогда Вселенная должна быть пространственно бесконечной. В этом случае современное расширение Вселенной будет продолжаться всегда.

В то же время, если плотность материи во Вселенной больше той же критической величины, тогда гравитационное поле, порожденное материей, искривляет Вселенную, замыкая ее на себя; Вселенная в этом случае конечна, хотя и неограничена, вроде поверхности сферы. (Это означает, что если мы отправимся в путешествие по прямой линии[13], мы не сможем добраться до какого-то угла Вселенной, а просто вернемся туда, откуда начали свой путь). Гравитационные поля достаточно сильны для того, чтобы в конце концов остановить расширение Вселенной, так что рано или поздно она начнет снова сжиматься к состоянию бесконечно большой плотности.

Критическая плотность пропорциональна квадрату постоянной Хаббла; для принятого в настоящее время значения этой постоянной (15 км/с на миллион световых лет) критическая плотность составляет 5 × 10^-30 грамм на кубический сантиметр, или около трех атомов водорода на тысячу литров объема пространства.

Движение любой типичной галактики в моделях Фридмана в точности напоминает движение камня, подброшенного вверх с поверхности Земли. Если камень брошен с достаточно большой скоростью или, что приводит к тому же результату, если масса Земли достаточно мала, то камень будет постоянно замедляться, но, тем не менее, сможет улететь в бесконечность. Это соответствует случаю, когда космическая плотность меньше критической плотности. Напротив, если камень подброшен с недостаточно большой скоростью, то он достигнет некоторой максимальной высоты, а затем полетит обратно вниз. Это соответствует космической плотности больше критической.

Из этой аналогии ясно, почему невозможно найти статические космологические решения уравнений Эйнштейна — ведь мы не удивляемся тому, что камень улетает от поверхности Земли или падает на нее, но вряд ли мы ожидаем увидеть этот камень неподвижно висящим в поднебесье. Эта же аналогия позволяет избежать часто встречающегося неправильного толкования понятия расширяющейся Вселенной. Галактики разлетаются не потому, что какие-то мистические силы расталкивают их, точно так же как летящий вверх камень в нашей аналогии не отталкивается Землей. На самом деле галактики разлетаются друг от друга потому, что они были отброшены в стороны каким-то взрывом в прошлом.

Хотя этого не понимали в 20-е годы, но многие детальные свойства моделей Фридмана могут быть количественно рассчитаны с помощью указанной аналогии, без всякого обращения к общей теории относительности. Чтобы рассчитать движение любой типичной галактики по отношению к нашей Галактике, нарисуем сферу с нашей Галактикой в центре и интересующей нас галактикой на поверхности; движение этой галактики будет таким, как будто масса Вселенной состоит только из вещества внутри сферы, а снаружи нет ничего. Дело обстоит так, как если бы мы выкопали пещеру, уходящую далеко в глубь Земли, и стали наблюдать, как в ней падают тела, — мы обнаружили бы, что ускорение свободного падения по направлению к центру Земли зависит только от массы вещества, находящегося ближе к центру, чем наша пещера, т. е. будто поверхность Земли находится на дне пещеры. Этот примечательный результат воплощен в теореме, справедливой как в ньютоновой, так и в эйнштейновской теории тяготения и основанной только на сферической симметрии изучаемой системы; вариант этой теоремы, выполняющийся в рамках общей теории относительности, был доказан в 1923 году американским математиком Дж. Д. Биркгофом, но ее значение для космологии не было осознано в течение десятилетий.

Мы можем использовать эту теорему для того, чтобы вычислить критическую плотность в моделях Фридмана (рис. 3). Если мы нарисуем сферу с нашей Галактикой в центре и какой-то удаленной галактикой на поверхности, то для вычисления скорости отрыва[14], т. е. той скорости, которой должна обладать галактика на поверхности сферы, чтобы иметь возможность удалиться в бесконечность, нам надо учесть массу галактик внутри сферы. Оказывается, что эта скорость отрыва пропорциональна радиусу сферы — чем массивнее сфера, тем быстрее нужно двигаться, чтобы оторваться от нее. Но закон Хаббла утверждает, что действительная скорость галактики на поверхности сферы также пропорциональна радиусу сферы, т. е. расстоянию до нас. Следовательно, хотя скорость отрыва зависит от радиуса, отношение действительной скорости галактики к скорости отрыва не зависит от размеров сферы; это отношение одинаково для всех галактик и не зависит от того, какую из них мы возьмем за центр сферы. В зависимости от значений постоянной Хаббла и космической плотности каждая галактика, движущаяся по закону Хаббла, либо имеет скорость больше скорости отрыва и будет удаляться в бесконечность, либо имеет скорость меньше скорости отрыва и приблизится к нам через какое-то время в будущем. Критическая плотность есть просто та величина космической плотности, при которой скорость отрыва каждой галактики в точности равна скорости, даваемой законом Хаббла. Критическая плотность может зависеть только от постоянной Хаббла, и оказывается, что она пропорциональна ее квадрату (см. математическое дополнение 2).

Рис. 3. Теорема Биркгофа и расширение Вселенной.

Показан ряд галактик со скоростями по отношению к данной галактике G, отмеченными длинами и направлениями сплошных стрелок. (В соответствии с законом Хаббла эти скорости взяты пропорциональными расстоянию до G.) Теорема Биркгофа утверждает, что для вычисления движения галактики А по отношению к G, необходимо принять во внимание лишь массу, содержащуюся внутри сферы, проведенной вокруг G и проходящей через А, которая показана здесь пунктирной линией. Если А не слишком далека от G, гравитационное поле вещества внутри сферы будет умеренным и движение А можно рассчитать с помощью правил ньютоновой механики.