всякой возможной конечной величины', приводит к концепции изменяющегося числа, находящегося ниже любой отличной от нуля конечной величины и, следовательно, не имеющего в себе ни малейшего признака величины. Предел в этой окончательной формулировке вообще не представляет собой нечто такое, к чему совершается приближение. Он представляет собою само приближение — процесс, операцию. Это не состояние, а поведение. Здесь, в решающей проблеме западной математики неожиданно вскрывается, что наша душа предрасположена исторически *.
16
Освободить геометрию от наглядности, алгебру от понятия
величины и объединить обе по ту сторону элементарных рамок конструкции и счета в мощном здании теории функции — таков был великий путь западного числового мышления. Таким образом античное постоянное число растворилось в изменяющемся. Геометрия, ставши аналитической, разрушила все конкретные формы. Она заменила математическое тело, из неподвижных форм которого извлекаются геометрические значимости, абстрактными пространственными отношениями, которые в конце концов являются вообще совершенно неприменимыми к фактам чувственно наличной наглядности. Далее, она заменила оптические образования Эвклида геометрическим местом точек и их отношением к системе координат, исходный пункт которых может быть произвольно выбран, и свела предметное существование геометрического объекта к требованию неизменяемости выбранной системы во все время
* 'Функция, правильно понимаемая, есть бытие, мыслимое в деятельности' (Гете).
149
операции, имеющей теперь уже своим предметом не измерения, а уравнения. Однако вскоре устанавливается истолкование координат исключительно как чистых значимостей, не столько определяющих, сколько изображающих и заменяющих положение точек как абстрактных элементов пространства. Число, предел ставшего, изображается символически уже не в образе какой-либо фигуры, а в образе уравнения. Смысл «геометрии» превращается в обратный: система координат как образ исчезает, и точка становится теперь совершенно абстрактной группой чисел. Путь, которым архитектура Ренессанса превращается благодаря конструктивным нововведениям Микеланджело и Виньолы в барокко, является точным отражением внутренних изменений анализа. Чувственно чистые линии фасадов дворцов и церквей утрачивают свою реальность. На месте ясных координат флорентийско-римской расстановки колонн и расчленения этажей появляются «бесконечные» элементы взвивающихся и волнообразных частей здания, волют и картушей. Конструкция исчезает в изобилии декоративного-функционального, говоря языком математики; колонны и пилястры, соединенные в группы и связки, прорезывают фронтоны, не давая отдыха для глаза, то соединяясь, то вновь расступаясь; плоскости стен, потолков, этажей расплываются потоком украшений стукко и орнаментов, пропадают и распадаются под действием красочных световых эффектов. В то же время свет, разлившийся в привольной игре над этим миром форм зрелого барокко — начиная с Бернини в 1650 г. вплоть до рококо в Дрездене, Вене и Париже — становится чисто музыкальным элементом. Дрезденский Цвингер — это симфония. Вместе с математикой также и архитектура превратилась в XVIII веке в мир музыкального характера.
17
На пути развития этой математики наступил момент, когда и теория и сама душа, стремившаяся к беспрепятственному выражению своих внутренних возможностей, почувствовали преграду и помеху не только в ограниченности искусственных геометрических образований, но и в ограниченности зрительного чувства вообще, когда таким образом идеал трансцендентной протяженности вступил в коренной конфликт с ограниченными возможностями непосредственной видимости. Античная душа, предоставляющая чувственному его полное значение и свободу воздействия с покорностью, свойственной платоновской или стоической???????? и скорее
150
принимавшая, а не создававшая свои великие символы, как
мы это видели на примере скрытого эротического значения
пифагорейских чисел, не могла и не хотела шагнуть за пределы телесного «теперь» и «здесь». Если пифагорейское число вскрывалось из сути отдельных данных вещей в природе, то число Декарта и следовавших за ним математиков было чем-то таким, что надо было завоевать и вынудить, каким-то самодержавным, абстрактным отношением, независимым от всякой чувственной данности и постоянно готовым утвердить эту свою независимость от природы. Воля к власти — пользуясь знаменитой формулой Ницше — свойственная, начиная с ранней готики времен «Эдды», соборов и крестовых походов, даже еще с завоеваний викингов и готов северной душе в ее отношениях к ее миру, свойственна также и энергии, проявляемой западным числом по отношению к наглядности. Это есть «динамика». В аполлоновской математике дух служит глазу, в фаустовской первый побеждает второй.
Хотя математики в своем уважении к античной традиции
не смели долгое время замечать этого, само математическое
'абсолютное', настолько совершенно неантичное пространство с самого начала не имело ничего общего со смутной пространственностью ежедневных впечатлений или популярной живописи, с пространственностью, не допускающего по принятому мнению иного толкования и достоверного априорного созерцания Канта, но являлось чистой отвлеченностью, идеальным, неосуществимым постулатом души, все менее удовлетворенной чувственностью как средством выражения и, наконец, со всей страстностью от нее отвратившейся. Тут пробудилось внутреннее зрение.
Только тогда для глубоких мыслителей стало ясным, что с
этой повышенной точки зрения, единственная истинная, по
наивному воззрению всех времен, Эвклидова геометрия есть
только гипотеза, чью исключительную обоснованность по
сравнению с другими видами геометрии, совершенно ненаглядными, нельзя даже доказать, как это точно установлено Гауссом, не говоря уже о многократно прославляемом «соответствии» с действительностью, этой догмой непосвященных, опровергаемой любым взглядом вдаль, где все параллели пересекаются. Основное ядро этой геометрии, эвклидова аксиома параллельных линий, есть утверждение, которое можно заменить другими, а именно: что через определенную точку нельзя провести ни одной параллели к прямой, или можно провести две, или даже несколько; все это утверждения, на основании которых возможно построить вполне согласованные трехмерные геометрические системы, которые вполне
151
применими в физике или в особенности в астрономии, в некоторых
случаях имеют преимущество перед Эвклидовой.
Уже простое требование безграничности протяженного -
каковую ограничность мы со времени исследования Риманна
и его теории безграничных, но вследствие своей кривизны не
бесконечных пространств, должны отличать от бесконечности
— противоречит самому характеру такой непосредственной
наглядности, находящейся в зависимости от наличности сопротивления света, следовательно, от материальных границ. Но можно себе представить абстрактные принципы установления границ, выходящие в совершенно новом смысле из круга возможностей оптической ограниченности. Для внимательного
