тому как мы можем наблюдать лишь сечение Сферы, то есть окружность, сама Сфера может наблюдать лишь сечение Гиперсферы своим пространством, то есть трехмерную сферу.
Гиперсфера продемонстрировала несколько удивительных трюков. Нежнейшим прикосновением она даже дотронулась до желудка Сферы, ибо перед обитателями Гиперпространства Трехмерие столь же открыто, как Флатландия перед обитателями трехмерного пространства. Странный посетитель Трехмерия мог без труда описывать до мельчайших подробностей предметы, находящиеся в закрытом ящике.
Затем Сфера рассказала еще об одном трюке, который для нас, флатландцев, остался совершенно непонятным. Чтобы закрепить предметы, в Трехмерии пользуются веревками и цепями. Веревки при этом завязывают в узлы. По словам Сферы, невозможно развязать веревку, если кто-нибудь держит оба ее конца (мы, флатландцы, не в состоянии представить себе, как это происходит, и потому всецело полагаемся на утверждение Сферы). Гиперсфера играючи развязывала любые узлы!
Другой предмет, о котором я только что упомянул, трехмерная цепь, представляет собой набор из нескольких звеньев, имеющих форму окружностей или эллипсов и соединенных между собой. Рассыпать цепь на отдельные звенья, не разогнув при этом хотя бы одно звено, в трехмерном пространстве невозможно. Гиперсфера с величайшей легкостью рассыпала на звенья любые цепи, не разрывая пи одного звена!
Затаив дыхание, слушали мы рассказ нашего гостя. Его визит был важен для нас по двум причинам. Во-первых, мы узнали, что сообщение деда о его потустороннем госте — не выдумка. Во-вторых, наш гость сообщил нам о том, что, помимо третьего, существует еще и четвертое измерение. Однако наибольшее удовлетворение нам доставило признание Сферы, к которой мы испытывали глубокую симпатию, что она изменила свои взгляды на существование четырехмерного пространства.
Мрачным тоном Сфера сообщила нам, что обитатели Трехмерия отнеслись к ее рассказу о посещении Гиперсферы с недоверием. И хотя Сферу не преследовали и не бросили в тюрьму, ей пришлось выслушать немало насмешек. Поговаривали, что визит Гиперсферы ей, должно быть, приснился.
Такое недоверие явно печалило Сферу, и мы, вспоминая испытания, выпавшие на долю нашего предка, не могли не посочувствовать ей.
— Мне особенно приятно отметить, — прервал я грустные размышления Сферы, — что в моем доме вы встретили дружеское отношение и сочувствие, которые тщетно пытались найти в своем собственном мире.
— Благодарю вас за эти теплые слова, — ответила Сфера. — Но, хотя мне очень дорого ваше сочувствие, я все же надеюсь, что и в моем мире отношение к существованию Четырехмерия вскоре изменится.
— Как бы то ни было, мы всегда рады вашим визитам, — заверил я.
— Друзей, способных помочь в беде, нелегко забыть, — сказал наш гость, — ибо на них можно положиться.
Сфера пообещала посетить нас еще раз в канун следующего Нового года, чтобы мы могли обменяться мнениями относительно различных проблем, связанных с пространством. Наш гость нуждался в дружеской поддержке, которой не мог обрести в своем мире.
Мы настаивали на том, чтобы Сфера посетила нас, не дожидаясь конца года, но она отдавала явное предпочтение визиту под Новый год. Сфера все еще надеялась убедить обитателей Трехмерия в существовании четвертого измерения, а для этого ей требовалось время. Вместо того чтобы появиться перед нами в некий произвольно выбранный день и час, Сфера хотела прибыть к нам в точно установленный срок. Тем более что к тому времени могут произойти какие-нибудь новые события, заслуживающие обсуждения.
Мы сердечно простились, и наш гость покинул двумерное пространство. Видимая нам окружность стала уменьшаться в размерах и наконец совсем исчезла.
Мы с сыном еще долго сидели, обсуждая события новогодней ночи.
— И все-таки нельзя не восхищаться тем, что мы в своем двумерном мире придерживаемся более передовых представлений о пространстве, чем обитатели Трехмерия. Мой прадед Квадрат пришел ко вполне правильному выводу о существовании третьего измерения в ту пору, когда сама Сфера еще не верила в существование четвертого измерения. Ныне существование трехмерного мира ни у кого из нас не вызывает сомнений, в то время как в самом трехмерном мире широкая публика все еще сомневается в существовании четвертого измерения.
— Все это так, — не мог не признать я, — по не следует забывать, что нам помог случай. Моего деда и твоего прадеда Сфера посетила давным-давно, в то время как визит Гиперсферы к Сфере состоялся недавно.
Моему сыну не оставалось ничего другого, как согласиться. По- видимому, его мысли потекли в другом направлении, ибо немного погодя он сказал:
— Существует ли пятое измерение? Не может ли в гости к четырехмерной Гиперсфере наведаться существо еще более высокого порядка из мира пяти измерений?
— Такое событие отнюдь не исключено, — заметил я без всякого энтузиазма. — Но почему ты думаешь, что математический процесс, каковым, несомненно, является восхождение от пространств одной размерности к пространствам другой, более высокой, размерности нигде не обрывается? Ведь это означало бы, что существует бесконечно много измерений!
— Но от того, что кто-то придумал многомерные пространства, они вовсе не обязаны существовать в действительности, — возразил мои сын.
— Это вполне справедливо, — согласился я, — ибо заключение о том, что некий мир реально существует, мы вправе вывести не раньше, чем за картиной этого мира обнаружим сам мир. До того любые предположения о неизвестном мире — не более чем фантазия.
— Да, по прекрасная фантазия, — не удержался от признания мой сын, — Может быть, нам еще предстоит удовольствие познакомиться с существами, обитающими в многомерных мирах. Они же сочтут, что мы совсем примитивные организмы, и будут смотреть на нас сверху вниз.
Так мы беседовали в ту ночь допоздна. И хотя то, о чем мы говорили, было чистейшей фантазией и не могло дать ничего нового, мне было приятно найти в своем сыне собеседника, с которым я мог столь свободно обсуждать интересовавшие меня проблемы.
ЧАСТЬ II
КОНГРУЭНТНОСТЬ И СИММЕТРИЯ
9. ПОРОДИСТЫЕ СОБАКИ И ДВОРНЯГИ
Весь следующий год мысли мои то и дело обращались к предстоящей встрече со Сферой. Как она произойдет? Расскажет ли Сфера в своем мире о втором визите во Флатландию? Продолжает ли она совершенствовать познания своих соседей по Трехмерию в геометрии? Удалось ли Сфере найти себе слушателей или за смелые идеи, в корне меняющие привычные представления о пространстве, ее бросили в тюрьму? Если так, то Сфера не сможет прибыть к нам в назначенное время.
