трудности и сможем обсуждать их. Для меня это было бы огромной поддержкой. Во-вторых, не исключено, что вам удастся найти решение загадки. Итак, согласны ли вы мне помочь?
— Я уже сказал, — ответил я, — что ваше предложение необычайно заинтересовало меня. Я приложу все усилия, чтобы решить проблему, а в случае неудачи надеюсь, что вы не станете меня упрекать.
— Упрекать? — воскликнул мой гость. — Ни за что и никогда! Может быть, совместными усилиями нам удастся найти решение! Ум хорошо, а два лучше! К тому же, работая над одной проблемой, мы могли бы обсуждать ее и постепенно прийти к решению, хотя это и очень трудно.
— Могу я просить вас еще кое о чем? — задал я гостю последний вопрос. — Не намекнете ли вы, с какого рода задачей нам придется иметь дело?
— Охотно, — согласился доктор Пункто. — Не могли бы вы сказать, чему равна сумма углов треугольника?
Неожиданный вопрос озадачил меня, но я все же ответил:
— Разумеется, 180°.
— Всегда? — спросил доктор Пункто и с этими словами исчез за дверью.
17. УДИВИТЕЛЬНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ
Последнее замечание моего нового знакомого заставило меня призадуматься. Я разговаривал с ним довольно долго, у меня создалось впечатление, что это вполне разумный многоугольник, и вдруг этот вопрос, эти странные сомнения…
Можно ли быть уверенным в том, что на вопрос доктора Пункто в ста случаях из ста следует отвечать утвердительно? Всегда ли сумма углов треугольника равна 180°? Как можно усомниться в этом? Случалось ли кому-нибудь видеть треугольник с иной суммой углов? Как можно представить себе такой треугольник? Впрочем, доказать, что сумма углов треугольника равна 180°, совсем просто. Не лучше ли мне отказаться от участия в сомнительной затее моего нового знакомого? Потом отделаться от него будет гораздо труднее. А что если я попытаюсь разыграть из себя маньяка, одержимого какой-то другой бессмысленной навязчивой идеей, и заговорю с доктором Пункто о ней?
За этими размышлениями я провел бессонную ночь. Я намеревался придумать какую-нибудь отговорку, сослаться на неожиданный срочный вызов, в крайнем случае сказать, что умер кто-то из членов семьи, чтобы любым путем уклониться от встречи с тем, кто завтра с самого раннего утра будет стоять у моей двери. Однако стоило мне лишь увидеть вчерашнего гостя, как я вновь ощутил к нему такое доверие, что, не колеблясь, принял приглашение отправиться вместе с ним, о чем до сих пор не жалею.
Место, куда привел меня доктор Пункто, находилось за городской чертой. Наблюдательные пункты, расположенные на большом расстоянии друг от друга, образовали там триангуляционную сеть. Мы находились на наблюдательном пункте А. Оттуда при помощи новейшего прибора для измерения углов можно было определить углы между направлениями АВ, AC, AD, АЕ и AF. Мой провожатый попросил меня измерить угол между направлениями на пункты С и D. Я с удовольствием выполнил его просьбу, а заодно измерил и четыре остальных угла.
— Сумма всех пяти измеренных мной углов, естественно, должна быть равна 360°, — заметил я.
— Ну что же, проверим сначала сумму, — сказал мой новый друг (почему бы мне, в самом деле, не называть так доктора Пункто?).
Мы сложили полученные величины углов и получили в результате величину, которая хотя и очень незначительно, но все же отличалась от 360°.
— Разумеется, ровно 360° не удается получить никогда, — заметил мой спутник, — ибо любое измерение, сколь бы тщательно мы его ни производили, неизбежно содержит некую малую ошибку. Она так и называется— ошибка измерения. Поэтому и сумма пяти измеренных углов никогда не бывает в точности равна 360°: она то меньше, то больше. У опытного наблюдателя отклонения меньше, у неопытного больше, но даже тот, кто производит измерения особенно тщательно, неизбежно совершает некоторую ошибку, хотя и очень малую.
— Об этом вы могли бы и не рассказывать, — заметил я. — Что существует ошибка измерения, мне хорошо известно.
— Тогда вам должно быть понятно, — продолжил свои объяснения мой собеседник, — что в том случае, когда одно и то же измерение приходится повторять несколько раз подряд, результаты получаются разными: одни больше, другой меньше.
— Разумеется, — согласился я, — но может случиться и так, что результаты нескольких последовательных измерений одной и той же величины окажутся одинаковыми…
— А затем, — подхватил мой друг, — снова появится меньшее или большее значение. И добавил:
— До сих пор все, о чем мы с вами говорили, было понятно. Вот теперь и начинается самое удивительное. Если мы перейдем в пункт С и измерим угол между направлениями CD и СА, а затем перейдем в пункт D и измерим угол между направлениями DC и DA и, наконец, вычислим сумму всех трех измеренных нами углов треугольника ACD, то…
— У нас должно получиться 180°, — закончил я фразу. — Вычисленная нами сумма окажется не в точности равной 180°, а будет отличаться от 180° либо в большую, либо в меньшую сторону на малую величину.
— Вы правы: так должно быть, — согласился мой друг, — но так не получается. Вычисленная мной сумма всегда оказывалась больше 180°, причем отклонение было слишком велико для того, чтобы его можно было приписать ошибкам измерения.
— Следовательно, — заключил я, — обнаруженное вами отклонение обусловлено не ошибками измерения и должна существовать более глубокая причина, по которой сумма углов треугольника ACD действительно больше 180°.
Я рассуждал здраво и логически безупречно, но все же, произнеся эти слова, невольно сам испугался их. Как это может быть? Что я, собственно, утверждаю? Сумма углов треугольника больше 180°! Но такое невозможно! Что делать, как быть?!
Доктор Пункто заметил мое замешательство. Он улыбнулся и сказал:
— Всё правильно! Именно к такому выводу пришел и я. Вы рассуждаете правильно, но… может ли быть такое? Нельзя же думать, что нам впервые удалось открыть треугольник, у которого сумма углов больше 180°! Такой вывод противоречит здравому смыслу. Такой вывод противоречит основам геометрии! Однако сумма углов оказывается больше 180° не только у треугольника ACD, но и у всех треугольников триангуляционной сети. В чем здесь дело, я не знаю. Может быть, вам удастся понять, чем вызван столь необычный результат? Может быть, вы можете хотя бы подсказать, в каком направлении следует искать решение этой загадки?
— Уж не послужило ли сделанное вами открытие причиной вашей отставки? — спросил я.
— Да, меня уволили именно из-за этого, — подтвердил доктор
