необходимо было развитие той части естествознания, которая называется механикой. После того как трудами Галилея (1564-1642), Гюйгенса (1629-1695) и других ученых было положено начало опытному обоснованию механики, Ньютон сформулировал следующие три основных закона движения тел: 1-й закон. Всякое тело сохраняет свое состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку приложенные силы не заставят его изменить это состояние. Этот закон называется законом инерции. Если m - масса тела, а v - его скорость, то закон инерции математически можно представить в следующем виде:
mv = const.(2.13)
Если v = 0, то тело находится в покое; если v = const ¹ 0, то тело движется равномерно и прямолинейно. Произведение mv называется количеством движения тела. Изменение количества движения тела может произойти только в результате его взаимодействия с другими телами, т.е. под действием силы. 2-й закон. Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует. Второй закон математически записывается так: или
F = mw,(2.14)
т. е. произведение массы тела m на его ускорение w равно действующей силе F. Уравнение (2.14) называется основным законом динамики материальной точки. 3-й закон. Действие всегда вызывает равное и противоположное противодействие. Иными словами, воздействия двух тел друг на друга всегда равны и направлены в противоположные стороны. Если какое-нибудь тело с массой т1 взаимодействует с другим телом с массой m2 , то первое тело изменяет количество движения второго тела m2v2 , no и само претерпевает от него такое же изменение своего количества движения m1v1 , но только обратно направленное, т.е. или
F2 = - F1 .(2.15)
§ 43. Закон всемирного тяготения Ньютона
Основные законы движения тел позволили Ньютону сформулировать и математически доказать следующую теорему: “Силы, которыми главные планеты постоянно отклоняются от прямолинейного движения и удерживаются на своих орбитах, направлены к Солнцу и обратно пропорциональны квадратам расстояния от его центра”. Доказав далее, что сила, удерживающая планеты на их орбитах, тождественна с силой тяжести, действующей на поверхности Земли, Ньютон обобщил эту теорему и выразил ее в форме закона всемирного тяготения: “Каждые две частицы материи притягивают взаимно друг друга, или тяготеют друг к другу, с силой, прямо пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними”. Математически закон всемирного тяготения Ньютона записывается так:
(2.16)
где m1 и m2 - массы частиц, r - расстояние между ними, f - коэффициент пропорциональности, равный силе, с которой притягиваются друг к другу две частицы с единичными массами и находящиеся на единичном расстоянии друг от друга. Коэффициент f называется постоянной тяготения, или гравитационной постоянной. В системе CGS (сантиметр, грамм, секунда) f = 6,67 · 10 -8 см3 / г · сек2 Следовательно, две материальные частицы, с массами по 1 г каждая и находящиеся на расстоянии 1 см одна от другой, притягиваются друг к другу с силой в дины. В астрономии расстояния между Солнцем и планетами часто выражают в астрономических единицах (а.е.), массы небесных тел в массах Солнца, а время - в средних солнечных сутках. В этой системе единиц, называемой гауссовой, постоянная тяготения f = k2 = 0,00029591, а величина k = 0,0172021 ' называется гауссовой постоянной.
§ 44. Зависимость силы тяготения от массы и от формы притягивающихся тел
Из второго основного закона механики (2.14) и закона всемирного тяготения (2.16) следует: 1. Две материальные частицы, или материальные точки (т.е. материальные тела, размеры которых исчезающе малы по сравнению с расстоянием между ними), притягивают друг друга с одинаковой силой F, но получают при этом разные ускорения, обратно пропорциональные их массам. Действительно, от силы F масса m1 получает ускорение направленное к m2 , a масса т2 - ускорение направленное к т1 . Отсюда Например, ускорение Земли от притяжения ее Луной меньше ускорения Луны от притяжения ее Землей во столько же раз, во сколько раз масса Луны меньше массы Земли. 2. Относительное ускорение двух материальных точек wот равно разности w1 - w2 , и так как w1 и w2 направлены в противоположные стороны, то
(2.17)
т. е. wот пропорционально сумме масс частиц. Следовательно, ускорение при относительном движении имеет такую же величину, как и в случае, если бы масса обеих частиц (m1 + m2) была сосредоточена в одной из них. Поэтому при решении задачи о движении двух притягивающихся материальных точек мы можем считать, что сила исходит из неподвижного центра, и исследовать движение только одной точки. 3. Две материальные точки с массами m1 и т2 , находящиеся на равных расстояниях от третьей материальной точки с массой т, притягиваются последней с разными силами и но ускорения (по величине) получают одинаковые, равные
Например, Солнце притягивает Землю с большей силой, чем Луну, но Земля и Луна, когда они находятся на одном и том же расстоянии от Солнца, получают от него одинаковые ускорения. Закон тяготения Ньютона сформулирован для материальных частиц. Однако небесные тела - Солнце, Луна, планеты, звезды - не являются материальными частицами, они имеют значительные объемы. Но Ньютон доказал: 1) если два притягивающихся тела имеют форму шаров и равномерную плотность, то они притягиваются так, как будто их массы сосредоточены в их центрах; 2) так же притягиваются шаровые слои равномерной плотности, ограниченные двумя концентрическими шаровыми поверхностями; 3) так же притягиваются шары, плотность которых не везде одинакова, но вещество одинаковой плотности образует концентрические слои. Для таких тел r в формуле (2.16) означает расстояние между центрами шаров; при этом радиусы шаров могут быть какого угодно размера по сравнению с расстоянием r, только их сумма должна быть меньше r. Так как подавляющее большинство небесных тел имеет почти правильную шаровую форму, с концентрическими слоями почти одинаковой плотности, а расстояние между их центрами значительно превосходит размеры шаров, то небесные тела можно рассматривать как материальные точки и при исследовании взаимодействий между ними пренебрегать на первом этапе уклонениями их формы от шарообразной. Заметные влияния подобных уклонений удобнее вычислять отдельно в виде “возмущений” (см., например, § 72).
§ 45. Тождество силы тяготения и силы тяжести
Всем телам на поверхности Земли сила тяжести сообщает при их свободном падении ускорение g, равное приблизительно 981 см/сек2. Допустим, что сила тяжести изменяется обратно пропорционально квадрату расстояния тела от центра Земли. Тогда, например, Луна, находящаяся от центра Земли на расстоянии в 60 земных радиусов (приблизительно), должна испытывать ускорение g' в 602 раз меньшее, чем ускорение на поверхности Земли, т.е. Из механики известно, что для точки, равномерно движущейся по кругу, центростремительное ускорение w = w2 , где w - угловая скорость точки, а r радиус круга. Принимая орбиту Луны за окружность с приближенным радиусом r = 60 · 6378 км, а период обращения Луны вокруг Земли равным примерно 27,3 средних суток (сидерический месяц), получим центростремительное ускорение орбитального движения Луны Полученные одинаковые числа для g' и w означают, что сила, которая удерживает Луну на ее орбите (сила притяжения), есть не что иное, как сила земной тяжести, ослабленная пропорционально отношению квадратов расстояния Луны от центра Земли и расстояния поверхности Земли от ее центра. На основании этого результата Ньютон и сделал вывод о том, что сила тяжести тождественна с силой взаимного тяготения, действующей между всеми телами Вселенной, и сформулировал свой закон в той форме, как он дан в § 43.
§ 46. Изменение силы тяжести на поверхности Земли
Сила тяжести на поверхности Земли есть равнодействующая двух сил: силы притяжения, направленной к центру массы Земли, и центробежной силы, направленной перпендикулярно к оси вращения Земли. Так как Земля сплюснута вдоль оси вращения, то сила притяжения у полюсов больше, чем в других местах, и уменьшается к экватору. Кроме того, центробежная сила действует против силы притяжения. Поэтому сила тяжести на поверхности Земли уменьшается при переходе от полюсов к экватору. Разница в ускорении силы тяжести между полюсами и экватором составляет g90 g0 = 983,2 - 978,0 = 5,2 см/сек2. Около 2/3 этой разности возникает за счет центробежного ускорения на земном экваторе и около 1/3 - за
