ИСТОРИЯ ЗАПАДНОЙ ФИЛОСОФИИ

смысле, что его естественное движение направлено вверх; земля абсолютно тяжела. Воздух относительно легок, а вода относительно тяжела.

Эта теория породила много трудностей для последующих веков. Кометы, которые были признаны уничтожимыми, должны были быть отнесены к подлунной сфере, но в XVII столетии было открыто, что кометы описывают орбиты вокруг Солнца и очень редко находятся на таком же расстоянии от Земли, как Луна. Поскольку природное движение земных тел прямолинейно, утверждалось, что метательный снаряд, направленный по горизонтали, будет в течение некоторого времени двигаться горизонтально, а затем внезапно начнет падать вертикально. Открытие, сделанное Галилеем, показавшим, что метательный снаряд описывает параболу, шокировало его коллег — последователей Аристотеля. Копернику, Кеплеру и Галилею пришлось бороться и с Аристотелем, так же как с Библией, чтобы утвердить тот взгляд, что Земля не является центром Вселенной, а вращается вокруг своей оси в течение суток и обращается вокруг Солнца в течение года.

Но перейдем к более общим вопросам. Физика Аристотеля несовместима с «первым законом движения» Ньютона, первоначально сформулированным Галилеем. Этот закон утверждает, что каждое тело, предоставленное самому себе, будет, если оно уже находится в движении, продолжать двигаться по прямой линии с постоянной скоростью. Таким образом, внешние причины требуются не для того, чтобы объяснить движение, но чтобы объяснить изменение движения — его скорости или направления. Круговое движение, которое Аристотель считал «естественным» для небесных тел, включало постоянное изменение направления движения и поэтому требовало силы, направленной к центру круга, как в законе тяготения Ньютона.

И, наконец, пришлось отказаться от того мнения, что небесные тела вечны и неуничтожимы. Солнце и звезды существуют долго, но не вечно. Они рождены из туманности и в конце концов либо взрываются, либо, остывая, гибнут. Ничто в видимом мире не свободно от изменения и распада; вера Аристотеля в противное, хотя она и была принята средневековыми христианами, является продуктом языческого поклонения Солнцу, Луне и планетам.

Глава XXIV. РАННЯЯ ГРЕЧЕСКАЯ МАТЕМАТИКА И АСТРОНОМИЯ

В этой главе я касаюсь математики не самой по себе, а в ее связи с греческой философией — связи, которая была очень тесной, особенно у Платона. В математике и астрономии превосходство греков проявилось более определенно, чем где-либо еще. То, что они сделали в искусстве, литературе и философии, может быть оценено в зависимости от вкуса выше или ниже, но то, чего они достигли в геометрии, абсолютно бесспорно. Кое-что они унаследовали от Египта, кое-что, гораздо меньше, — от Вавилонии; что касается математики, то они получили из этих источников главным образом простые приемы, а в астрономии — записи наблюдений за очень долгий период. Искусство математического доказательства почти целиком греческого происхождения.

Сохранилось много интересных рассказов (вероятно, вымышленных) о том, какими практическими проблемами стимулировались математические исследования. Самый ранний и простой рассказ связан с Фалесом, которого, когда он был в Египте, царь попросил вычислить высоту пирамиды. Фалес выждал такое время дня, когда его тень по величине сравнялась с его ростом, затем он измерил тень пирамиды, которая, конечно, также была равна ее высоте. Говорят, что законы перспективы впервые были изучены геометром Агафархом, для того чтобы написать декорации к пьесам Эсхила. Задача определить расстояние до корабля, находящегося в море, которую, как говорят, изучал Фалес, была правильно решена уже в очень отдаленные времена. Одной из важных задач, которая занимала греческих геометров, было удвоение кубического объема. Она возникла, как говорят, у жрецов одного храма, которым оракул возвестил, что бог хочет иметь свою статую вдвое большего размера, чем та, которая у них была. Сначала они решили попросту удвоить все размеры статуи, но затем поняли, что новая статуя получится в восемь раз больше подлинника, а это повлечет за собой большие расходы, чем того требовал бог. Тогда они послали делегацию к Платону с просьбой, не может ли кто-нибудь из Академии решить их проблему. Геометры занялись ею и проработали над ней целые столетия, дав попутно множество прекрасных произведений. Задача эта, конечно, сводится к извлечению кубического корня из 2.

Квадратный корень из 2 — первое из открытых иррациональных чисел — был известен ранним пифагорейцам, и были изобретены остроумные методы приближения к его значению. Наилучшими были следующие: образуйте два столбца чисел, которые мы будем называть а и b; каждый столбец начинается с единицы. Каждое последующее а на каждой стадии образуется путем сложения уже полученных последних а и b. Последующее b образуется путем прибавления удвоенного предыдущего а к предыдущему b. Так получаются первые 6 пар (1, 1), (2, 3), (5, 7), (12, 17), (29, 41), (70, 99). Для каждой пары выражение 2 а^2 b^2 будет 1 или -1. Таким образом, b/a является почти квадратным корнем из 2 и с каждым новым шагом приближается к 2 под корнем. К примеру, читатель может удовлетвориться тем, что (99/70)^2 почти равняется 2.

Пифагора, личность которого всегда оставалась довольно туманной, Прокл назвал первым, кто сделал геометрию частью общего образования. Многие авторитеты, включая Томаса Хиса 170, полагают, что Пифагор, быть может, действительно открыл теорему, носящую его имя; согласно ей, в прямоугольном треугольнике квадрат стороны, лежащей против прямого угла, равен сумме квадратов двух других сторон. Во всяком случае, эта теорема была известна пифагорейцам очень давно. Они знали также, что сумма углов треугольника составляет два прямых угла.

Иррациональные числа, кроме корня квадратного из 2, изучались в отдельных случаях Феодором, современником Сократа, и в более общем виде Теэтетом, который жил примерно во времена Платона или, может быть, несколько раньше. Демокрит написал трактат об иррациональных числах, но о содержании этого трактата известно очень немногое. Платон глубоко интересовался этой проблемой; он упоминает о трудах Феодора и Теэтета в диалоге, названном в честь последнего. В «Законах» (819-820) он говорит, что общее невежество в этой области постыдно, и намекает, что сам узнал об этом в довольно позднем возрасте. Открытие иррациональных чисел, безусловно, имело большое значение для пифагорейской философии.

Одним из самых важных следствий открытия иррациональных чисел было создание Евдоксом геометрической теории пропорции (408-355 годы до н.э.). До него существовала лишь арифметическая теория пропорции. Согласно этой теории, отношение а к b равно отношению с к d, если а, взятое d раз, равно b, взятому с раз. Это определение, за отсутствием арифметической теории иррациональных чисел, может применяться только к рациональным. Однако Евдокс дал новое определение, которое не подчиняется этому ограничению, — в форме, приближающейся к методам современного математического анализа. Эта теория развита далее Евклидом и отличается большим логическим изяществом.

Евдокс также изобрел или усовершенствовал «метод исчерпывания», который затем с большим успехом был использован Архимедом. Этот метод является предвосхищением интегрального исчисления. Взять, например, вопрос о площади круга. Вы можете вписать в круг правильный шестиугольник или правильный двенадцатиугольник, или правильный многоугольник с тысячью или миллионом сторон. Площадь такого многоугольника, сколько бы у него ни было сторон, пропорциональна квадрату диаметра круга. Чем больше сторон имеет многоугольник, тем больше он приближается к кругу. Можно доказать, что если многоугольник обладает достаточно большим количеством сторон, то разность между его площадью и площадью круга будет меньше любой наперед заданной величины, как бы мала она ни была. Для этой цели используется аксиома Архимеда. Она гласит (если ее несколько упростить), что если большую из двух величин разделить пополам, а затем половину снова разделить пополам и так далее, то после конечного