утверждения логики и чистой математики следуют из посылок логики посредством чистой дедукции. Я считаю этот пункт важным, поскольку ошибки обязаны своим возникновением ассимиляции логического порядка эпистемологическим, а также и, наоборот, ассимиляции эпистемологического порядка логическим. Единственный способ, посредством которого деятельность математической логики бросает свет на истинность или ложность математики, связан с опровержением предполагаемых антиномий. Это показывает, что математика может быть истинной. Но показать, что математика является истинной, потребует других методов и других рассуждений.
Один из важных эвристических принципов, который Уайтхед и я нашли путем опыта для применения в математической логике и тем самым в других областях, представляет собой форму бритвы Оккама. Когда некоторое множество предполагаемых сущностей (entities) имеет чисто логические свойства, то оказывается, что в значительном большинстве случаев эти предполагаемые сущности могут быть заменены чисто логическими структурами, построенными из сущностей, которые не имеют таких чистых свойств. В подобном случае при интерпретации основной части утверждений, о которых до сих пор думали как: о предполагаемых объектах, мы можем заменить логические структуры, не изменяя в чем-либо детали этой части рассматриваемых утверждений. Это дает экономию, потому что сущности с чисто логическими свойствами всегда выводятся, и если утверждение, в котором они встречаются, может быть интерпретировано без этого вывода, тогда основание для вывода отпадает и наша основная часть утверждений не будет нуждаться в сомнительном шаге. Этот принцип может быть сформулирован в следующей форме «Всюду, где возможно, заменяйте конструкциями из известных сущностей выводы к неизвестным сущностям».
Использование этого принципа весьма разнообразно, но непонятно в деталях для тех, кто не знает математическую логику. Первый раз, когда я с ним встретился, я назвал его «принципом абстракции» или «принципом освобождения от абстракции». (Имеется в виду «Наше познание внешнего мира как поле для научного метода в философии» (1914) – прим. ред.). Этот принцип применим в случае любого симметричного и транзитивного отношения, такого, как равенство Мы склонны заключить, что подобные отношения возникают из наличия некоторого общего качества. Это может быть или не быть истинным, вероятно, оно истинно в одних случаях и не истинно в других. Однако всем формальным целям общего качества может служить членство в группе терминов, имеющих указанное отношение к данному термину. Возьмем, например, величину. Предположим, что мы имеем группу стержней одинаковой длины. Нетрудно предположить, что существует некоторое качество, названное их длиной, которое является для них общим. Но все утверждения, в которых это предполагаемое качество встречается, будут сохранять свое истинностное значение неизменным, если вместо «длины стержня х» мы возьмем членство группы всех тех стержней, которые имеют ту же длину, «что и х» В различных специальных случаях, например, при определении действительных чисел, возможна более простая конструкция.
Самый важный пример этого принципа – определение Фреге кардинального числа данного множества элементов как класса всех множеств, которые «подобны» данному множеству, где два множества «подобны:», когда существует взаимно-однозначное соответствие, чьей областью служит одно множество, а обратной областью – другое множество. Таким образом, кардинальное число есть класс всех тех классов, которые подобны данному классу. Это определение оставляет неизменным истинностные значения всех утверждений, в которых встречаются кардинальные числа, и избегает заключений к множеству объектов, называемых кардинальными числами, которые никогда не были необходимы, кроме как для понимания арифметики, а теперь больше не нужны и для такой цели.
Возможно, даже более важным является тот факт, что подобными методами можно избавиться от самих классов. Математика полна утверждений, которые, кажется, требуют, чтобы такие классы или агрегаты должны были быть в некотором смысле отдельными сущностями, например, утверждение «число комбинаций из п вещей любого числа есть 2». Поскольку 2' всегда больше, чем п, то это утверждение приводит к трудностям, если допускаются классы, потому что число классов сущностей в универсуме больше, чем число сущностей в нем, которые будут лишними, если классы окажутся среди сущностей. К счастью, все утверждения, в которых появляются классы, могут интерпретироваться без предположения, что существуют классы. Это, возможно, наиболее важное из всех применений нашего принципа. (См. 'Principia Mathematical, 20).
Другой важный пример относится к тому, что я называю «определенными дескрипциями», то есть к таким фразам, как «четно простое», «нынешний король Англии», «нынешний король Франции». Всегда было трудно интерпретировать такие утверждения, как «нынешний король Франции не существует». Трудность возникает здесь благодаря тому, что «нынешний король Франции» является субъектом этого утверждения, который делает необходимым предположить его существование, хотя он и не существует. Но эта трудность приписывает существование даже «круглому квадрату» или «четному простому числу, большему, чем 2» Фактически получается, что «круглый квадрат не существует» так же верно, как и «нынешний король Франции не существует». Даже различие между реальным (existence) и идеальным существованием (subsistence) не помогает нам. Факт, что когда слова «то-то и то-то» встречаются в утверждении, то не имеется никакого отдельного соответствующего им конституента утверждения, и когда утверждение анализируется полностью, то слова «то-то и то-то» исчезают. Важным следствием теории дескрипций является то, что бессмысленно говорить, что «A существует», если 'A' не является (или не обозначает) фразой формы «то-то и то-то». Если то-то и то-то существует, а x есть то-то и то-то, тогда говорить «x существует» бессмысленно.
Существование в том смысле, в котором оно приписывается отдельным объектам, тем самым полностью устраняется из списка основных принципов. Этот онтологический аргумент и большинство его опровержений находятся в зависимости от плохой грамматики (См. «Principia Mathematica», 14).
Существует много других примеров замены построений для заключений в чистой математике, например, ряды, ординальные числа, действительные числа. Но я перейду к примерам из физики.
Очевидными примерами являются точки и моменты времени: д-р Уайтхед показал, как построить их из множеств событий, которые имеют конечный размер и конечную длительность. В теории относительности не точки и моменты, в которых мы прежде нуждались, а события-частицы соответствуют тому, что в прежнем языке могло описываться как точки в момент времени или моментные точки. (Раньше точки пространства распространяли на протяжении всего времени, а моменты времени охватывали все пространство. Теперь единица, которая необходима математической физике, не имеет ни пространственного ни временного протяжения). События-частицы строятся посредством того же самого логического процесса, с помощью которого строились точки и моменты времени. В таких построениях мы имеем, однако, различные основы в сравнении с основами построения в чистой математике.
Возможность построения события-частицы зависит от существования множеств событий с определенными свойствами. Существуют ли требуемые свойства, можно узнать только эмпирически, если вообще можно узнать. Таким образом, не существует никакого основания a priori ожидать непрерывности (в математическом смысле) или верить, что события-частицы могут быть построены. Если квантовая теория будет требовать дискретного пространства-времени, тогда наша логика также должна быть готова удовлетворить ее требования, как она удовлетворяла требования традиционной физики, основывающиеся на непрерывности. Этот вопрос чисто эмпирический, и наша логика должна (или обязана) адаптироваться к другой альтернативе.
Сходные рассуждения применимы к частице материи или же к части материи конечного размера. Материя традиционно имеет два таких «чистых» свойства, которые характерны для логических конструкций. Во-первых, две части материи не могут находиться в том же самом месте в то же самое время. Во-вторых, одна часть материи не может быть в двух местах в то же самое время. Опыт по замене конструкциями выводов делает подозрительным такую аккуратность и точность.
Трудно удержаться от чувства, что непроницаемость не есть эмпирический факт, выведенный из наблюдения биллиардных шаров, а является чем-то логически необходимым. Такое чувство вполне обоснованно, но было бы иначе, если бы материя не была логической конструкцией. Огромное число событий сосуществует в любой малой области пространства-времени. Когда мы говорим о том, что не является логической конструкцией, мы не находим никакого такого свойства, как непроницаемость, но, напротив, допускаем неограниченное частичное совпадение событий в любой части пространства-времени, как бы она ни была мала. Основанием для принятия утверждения, что материя непроницаема, служит наше
