было бы превратить в любое другое тело с какой угодно структурой, и все первоначальные свойства были бы безвозвратно утрачены. Поразмыслив немного, вы поймете, что топология занимается изучением самых простых и в то же время самых глубоких свойств, какими только обладает тело.
Чтобы пояснить суть дела, приведем типичную топологическую задачу. Представьте себе поверхность тора, сделанную из тонкой резины, наподобие велосипедной камеры. Предположим, что в стенке тора проколота крохотная дырочка. Можно ли через эту дырочку вывернуть тор наизнанку, как выворачивают велосипедную камеру? Решить эту задачу «в уме», руководствуясь только своим пространственным воображением, - дело нелегкое.
Хотя еще в восемнадцатом веке многие математики бились над решением отдельных топологических задач, начало систематической работы в области топологии было положено Августом Фердинандом Мёбиусом, немецким астрономом, преподававшим в Лейпцигском университете в первой половине прошлого века. До Мёбиуса все думали, что у любой поверхности две стороны, как у листа бумаги. Именно Мёбиус совершил обескураживающее открытие: если взять полоску бумаги, перекрутить ее на полоборота, а концы склеить, то получится односторонняя поверхность, обладающая не двумя, а одной-единственной стороной!
Если вы возьмете на себя труд изготовить такую полоску (топологи называют ее листом Мёбиуса) и тщательно присмотритесь к ее «устройству», вы сможете убедиться, что у нее действительно лишь одна сторона и один край.
Трудно поверить, что такое вообще может быть, но односторонняя поверхность действительно существует - реальная, осязаемая вещь, которую каждый может построить в один миг. В том, что у листа Мёбиуса есть лишь одна сторона, сомневаться не приходится, и это свойство он сохраняет, как бы вы ни растягивали и ни деформировали его.
Но вернемся к нашей истории. Я преподавал математику в Чикагском университете и защитил докторскую диссертацию по топологии, поэтому мне без особого труда удалось вступить в общество «Мёбиус». Нас было не очень много - всего лишь двадцать шесть человек, главным образом чикагских топологов, но некоторые члены общества работали в университетах соседних городов.
Мы устраивали ежемесячные заседания, носившие сугубо академический характер, но раз в году - 17 ноября (в день рождения Мёбиуса) - собирались на банкет и приглашали в качестве гостя какого-нибудь знаменитого тополога, который выступал с лекцией.
Не обходилось на наших банкетах и без развлечений. Но в нынешнем году с фондами у нас было туговато, и мы решили отпраздновать годовщину патрона нашего общества в «Пурпурных шляпах», где цены были вполне умеренные, а после лекции можно было спуститься в зал и посмотреть программу варьете. С гостем нам повезло: наше приглашение принял знаменитый профессор Сляпенарский, первый тополог мира и один из величайших математических гениев нашего века.
Профессор Сляпенарский пробыл в Чикаго несколько недель, читая в университете курс лекций по топологическим аспектам теории относительности Эйнштейна. Я имел с ним несколько бесед на профессиональные темы в университете, мы подружились, и я пригласил его на банкет.
В «Пурпурные шляпы» мы поехали вместе на такси, и по дороге я попросил его рассказать в общих чертах то, о чем он собирался говорить на лекции. Но Сляпенарский в ответ только улыбнулся и посоветовал запастись терпением, благо ждать осталось совсем недолго. Тема лекции «Нульсторонние поверхности» вызвала среди членов общества «Мёбиус» такие оживленные толки, что даже профессор Роберт Симпсон из Висконсинского университета письменно уведомил правление о своем намерении прибыть на банкет. Ни на одном заседании в этом году профессор Симпсон присутствовать не соизволил!
Нужно сказать, что профессор Симпсон считался признанным авторитетом по топологии на Среднем Западе и был автором нескольких важных работ по топологии и теории поля, в которых выступал с резкими нападками на основные тезисы теории Сляпенарского.
Мы прибыли вовремя. После того как наш почетный гость был представлен профессору Симпсону и другим членам общества, мы сели за стол. Я обратил внимание Сляпенарского на традицию оживлять наши банкеты мелкими деталями, выдержанными в «топологическом духе». Например, серебряные кольца для салфеток были выполнены в форме листов Мёбиуса. К кофе подавали специально испеченные бублики, а кофейник был изготовлен в виде «бутылки Клейна».
После обеда за десертом нам подали эль от Баллантайна и крендельки, испеченные в форме двух разновидностей тройного узла, переходящих друг в друга при зеркальном отражении (выбор устроителей банкета пал на эль из-за торговой марки этого напитка: трех сцепленных колец, распадающихся, если убрать какое-либо из них). Сляпенарского позабавили эти топологические безделушки, и он высказал немало предложений на будущее, слишком сложных, чтоб объяснять их здесь.
После моего краткого вступительного слова Сляпенарский встал, поблагодарил присутствующих улыбкой за аплодисменты и откашлялся. В столовой мгновенно наступила тишина. Читатель уже представляет наружность профессора - его внушительную фигуру, рыжеватую бороду и сверкающую голову без единого волоска. В выражении лица Сляпенарского была какая-то особая многозначительность, показывающая, что нам предстоит узнать из его лекции нечто весьма важное, пока известное лишь ему одному.
Изложить сколь-нибудь подробно блестящий, но доступный пониманию только специалистов доклад Сляпенарского вряд ли возможно. Суть его сводилась к следующему. Лет десять назад Сляпенарский наткнулся в одном из менее известных трудов Мёбиуса на утверждение, поразившее его воображение. По словам Мёбиуса, теоретически не существовало причин, по которым поверхность не могла бы утратить обе свои стороны, то есть, иными словами, стать «нульсторонней».
Разумеется, пояснил профессор, такую поверхность невозможно представить себе наглядно, так же как квадратный корень из минус единицы или гиперкуб в четырехмерном пространстве. Но абстрактность понятия отнюдь не означает, что оно лишено смысла или не может найти применения в современной математике и физике.
Не следует забывать и о том, продолжал профессор, что те, кто никогда не видел лист Мёбиуса и не держал его в руках, не могут представить себе даже одностороннюю поверхность. Немало людей с хорошо развитым математическим воображением отказываются верить в существование односторонней поверхности, даже когда лист Мёбиуса у них в руках.
Я взглянул на профессора Симпсона, и мне показалось, что при этих словах он чуть заметно улыбнулся.
На протяжении многих лет, продолжал Сляпенарский, он упорно стремился построить нульстороннюю поверхность. По аналогии с известными типами поверхностей ему удалось изучить многие свойства нульсторонней поверхности. Наконец долгожданный день настал. Сляпенарский выдержал паузу, чтобы посмотреть, какое впечатление его слова произвели на слушателей, и окинул взглядом замершую аудиторию. Наконец настал день, когда его усилия увенчались успехом, и он построил нульстороннюю поверхность.
Подобно электрическому разряду, его слова обежали сидевших за столом. Каждый встрепенулся, удивленно посмотрел на соседа и уселся поудобнее. Профессор Симпсон яростно затряс головой. Когда Сляпенарский отошел в дальний конец столовой, где была приготовлена классная доска, Симпсон повернулся к соседу слева и шепнул: «Чушь несусветная! Либо Сляппи совсем спятил, либо он просто вздумал подшутить над нами».
Мне кажется, что мысль о розыгрыше пришла в голову многим из присутствовавших. Я видел, как некоторые из них недоверчиво улыбались, пока профессор вычерчивал на доске сложные схемы.
После некоторых пояснений (их я полностью опускаю из опасения, что они были бы совершенно непонятны большинству читателей) профессор заявил, что хотел бы в заключение лекции построить одну из простейших нульсторонних поверхностей. К этому времени все присутствовавшие, не исключая и меня, обменивались понимающими улыбками. На лице профессора Симпсона улыбочка была несколько напряженной.
Сляпенарский достал из кармана пиджака пачку синей бумаги, ножницы и тюбик с клеем. Он вырезал из бумаги фигурку, до странности напоминавшую бумажную куклу: пять длинных выступов, или отростков, походили на голову, руки и ноги. Затем он сложил фигурку и стал аккуратно склеивать концы отростков. Процедура была весьма деликатная и требовала большой осторожности, выступы весьма хитроумно переплетались. Наконец, осталось только два свободных конца. Сляпенарский капнул клеем на один из
