Доказательством называют обоснование истинности некоторого утверждения с помощью других, истинных и связанных с ним утверждений.
Всякое доказательство включает в себя по крайней мере три элемента.
Тезис – утверждение, истинность которого обосновывается в процессе доказательства.
Аргументы (или основания) – утверждения, с помощью которых обосновывается истинность тезиса.
Демонстрация (или форма) доказательства – логическая связь аргументов с тезисом.
Рассмотрим в качестве примера диалог из романа ф. Сологуба «Мелкий бес»:
«Раздосадованный Рутилов сказал:
– Ты, Арнольд Борисыч, и не будешь никогда быком, потому что ты – форменная свинья.
– Врешь, – угрюмо сказал Передонов.
– Нет, не вру, и могу доказать, – злорадно сказал Рутилов.
– Докажи, – потребовал Передонов.
– Погоди, докажу, – с тем же злорадством в голосе ответил Рутилов.
Оба замолчали… Вдруг Рутилов сказал:
– Арнольд Борисыч, а у тебя есть пятачок?
– Есть, да тебе не дам, – злобно ответил Передонов. Рутилов захохотал.
– Как есть у тебя пятачок, так как же ты не свинья! – крикнул он радостно».
В этом доказательстве (подобные которым так часто встречаются в нашей жизни) тезисом служит утверждение «Арнольд Борисыч – свинья». Оно обосновывается с помощью аргумента «Арнольд Борисыч имеет пятачок». К нему добавляется еще один – невысказанный, но подразумеваемый собеседниками – аргумент: «Всякая свинья имеет пятачок». Таким образом, доказательство имеет вид:
Всякая свинья имеет пятачок.
Арнольд Борисыч имеет пятачок.
Следовательно, Арнольд Борисыч – свинья.
Логическая связь аргументов с тезисом обеспечивается простым категорическим силлогизмом.
Следует обратить внимание на то, что аргументы в доказательстве выступают как посылки умозаключения, из которых выводится тезис. Если посылки истинны и логический вывод не содержит ошибок, то полученное следствие всегда будет истинным. Вот так и достигается обоснование истинности тезиса: мы показываем, что наш тезис логически следует из известных истинных утверждений. Вы заметили, конечно, что в приведенном примере вывод содержит ошибку: учетверение терминов в простом категорическом силлогизме – слово «пятачок» используется в двух разных смыслах. Поэтому тезис не доказан.
1) Некий человек устроил себе тайный погребок: пробил в стене квадратное отверстие, разделил его на 9 отделений и в каждое поместил бутылки дорогого анжуйского вина, до которого он был большой охотник: в угловые отделения поместил по 6 бутылок, в средние – по 9, а центральное отделение оставил пустым.
[FIXME]
Он регулярно проверял сохранность своего погребка, однако ленился пересчитывать все бутылки и ограничивался тем, что считал их количество по одной стороне: на каждой стороне была ровно 27 бутылка.
У этого человека был слуга, тоже любитель анжуйского вина. Заметив, что хозяин следит только за тем, чтобы на каждой стороне было по 21 бутылке, он украл 4 бутылки, а остальные расставил так, что на каждой стороне опять оказалось по 21 бутылке. Хозяин ничего не заметил. Через некоторое время слуга украл еще 4 бутылки, и опять хозяин ничего не заметил. Спрашивается: как слуга расставлял бутылки после очередной кражи и сколько всего бутылок он смог украсть незаметно для хозяина?
Прямое и косвенное доказательства
Доказательства, как нам известно еще со школьной скамьи, подразделяются на прямые и косвенные.
В прямом доказательстве тезис непосредственно следует из аргументов. Косвенное доказательство имеет более сложную структуру. К указанным выше элементам доказательства мы добавляем еще один элемент – антитезис, то есть утверждение, противоречащее тезису, а затем показываем, что он ложен. Это дает нам право утверждать, что тезис истинен. Иногда такое доказательство называют «доказательством от противного».
Рассмотрим пример. Допустим, мы хотим доказать тезис «Чиновник Копилкин берет взятки». Напрямую такой тезис доказать трудно, для этого необходимо схватить Копилкина за руку при получении им взятки, а это отнюдь не легко сделать. Поэтому приходится прибегать к косвенному доказательству.
Хорошо, говорим мы, допустим, что Копилкин не берет взяток. Вот наш антитезис: «Чиновник Копилкин не берет взяток». Теперь нам нужно показать, что этот антитезис ложен. Мы делаем это, показывая, что следствия, вытекающие из антитезиса, противоречат хорошо известным фактам, т.е. ложны.
Если верно, что Копилкин не берет взяток, то отсюда следует, что он со своей семьей живет на зарплату. Зарплата его известна и невелика, ее едва может хватить на самое насущное. Следовательно, Копилкин не может купить «мерседес», не может построить особняк, не может послать свою дочь учиться в Сорбонну.
Однако всем известно, что у Копилкина имеется «мерседес», загородный многоэтажный особняк, а его дочь вот уже который год учится в Сорбонне и живет в Париже. Следовательно, наше предположение о том, что он не берет взяток, ошибочно, т.е. антитезис ложен. В таком случае мы должны признать истинным наш тезис: «Чиновник Копилкин берет взятки».
Мы видим, что косвенное доказательство имеет более сложную структуру по сравнению с прямым, оно требует обращения к дополнительному знанию, поэтому при косвенном доказательстве возрастает риск ошибки. Оно менее надежно и убедительно, чем прямое доказательство. Скажем, обвинили мы Копилкина во взяточничестве на основании косвенного доказательства, а он в ответ предъявляет нам свидетельство о получении крупного наследства от своей бабушки из Канады или справку о доходах в качестве консультанта крупного банка. Вот и лопнуло наше доказательство!
Тем не менее во многих случаях без него трудно обойтись.
2) В авиационном подразделении служат Утконосенко, Крокодиладзе, Гиппопотамян, Змеюкин и Муравьедский. Их специальности: пилот, штурман, бортмеханик, радист и синоптик.
Определите, какую специальность имеет каждый из них, если известны следующие факты.
Крокодиладзе и Змеюкин не знакомы с управлением самолета.
Утконосенко и Змеюкин готовятся стать штурманами.
Квартиры Крокодиладзе и Муравьедского находятся рядом с квартирой радиста.
Гиппопотамян, находясь в доме отдыха, встретил Крокодиладзе и сестру синоптика.
Утконосенко и Крокодиладзе в свободное от работы время играют в шахматы с бортмехаником и пилотом.
Змеюкин, Гиппопотамян и синоптик увлекаются боксом.
Радист боксом не увлекается.
Опровержение
Опровержением называют установление ложности или необоснованности выдвинутого тезиса.
Цель опровержения – разрушить выдвинутое доказательство. Доказательство может существовать без опровержения: вы доказали некоторый тезис, и все согласились с вашим доказательством. Опровержение же всегда носит вторичный характер: сначала нужно что-то утверждать, что-то доказать – только тогда
