Революция в физике

привлечение целых чисел для характеристики стационарных состояний атомных электронов оказывается уже весьма симптоматичным.

В самом деле, мы часто встречаемся с целыми числами в тех разделах физики, где рассматриваются волны: в теории упругости, акустике, оптике. Они появляются при описании стоячих волн, интерференции, резонанса. Поэтому вполне допустимо предположить, что интерпретация условий квантования может привести к волновой точке зрения на электроны внутри атома. Таким образом, попытаться приписать электрону или вообще всем частицам, подобно фотонам, двойственную природу, наделить их волновыми и корпускулярными свойствами, связанными между собой квантом действия, – такая задача представлялась крайне необходимой и плодотворной.

2. Частица и волна, связанная с ней

В чем же в основном заключалась задача? По существу в установлении определенного соответствия между распространением некоей волны и движением частицы, причем величины, описывающие волну, должны быть связаны с динамическими характеристиками частицы соотношением, которое содержит постоянную Планка h. При том желательно установить это соответствие таким образом, чтобы общие правила, выражающие связь волны и частицы, примененные к фотону, давали хорошо известные и проверенные соотношения Эйнштейна между фотоном и световой волной.

Прежде чем приступить к решению этой задачи, было естественно рассмотреть самый простой случай: задачу о равномерном и прямолинейном движении частицы с заданными постоянными значениями энергии и импульса. Из соображений симметрии следовало сопоставить ей волну, распространяющуюся в том же направлении. Теперь оставалось только определить, как связаны между собой частота и длина этой волны с динамическими характеристиками частицы. Аргументы, основанные на общих принципах теории относительности, приводят к следующему результату: частота волны, связанной с движущейся частицей, равна энергии частицы, деленной на постоянную Планка, а длина волны – частному от деления постоянной Планка на импульс частицы. Такая связь между частицей и соответствующей ей волной обладает еще и тем большим преимуществом, что она в точности совпадает с соотношением Эйнштейна для фотона и световой волны. Так был осуществлен знаменитый синтез, ибо оказалось, что для частиц материи и для света установлен один и тот же вид дуализма.

Есть еще один, совершенно независимый путь, который ведет к такому же способу установления связи между частицей и соответствующей ей волной. Мы уже говорили, что теория Якоби очень прозрачно намекает на идею о сходстве траекторий частиц с лучом некоей волны, отождествляя интеграл действия частицы с волновым интегралом Ферма, так что принцип наименьшего действия совпадает с принципом минимального времени. Если выполнить эту операцию, то мы снова тут же находим, что, с одной стороны, энергия пропорциональна частоте, с другой стороны, импульс обратно пропорционален длине волны. Остается только положить коэффициент пропорциональности равным h(что совершенно естественно и согласуется с идеей объединения этих двух сторон дуализма посредством кванта действия), чтобы снова получить соотношение, уже установленное с помощью теории относительности. Эта новая цепочка рассуждений нигде явно не обращается к понятиям теории относительности. Поэтому она может быть целиком развита в рамках ньютоновой динамики.

Из этих основных результатов легко вывести самое важное следствие, касающееся соотношения между скоростью частицы и скоростью связанной с ней волны. В волновой теории наряду с монохроматическими волнами данной частоты рассматриваются также волновые пакеты, представляющие собой совокупность различных монохроматических волн. Среди этих пакетов интересно рассмотреть те, которые образовались наложением монохроматических волн с частотами, лежащими внутри небольшого спектрального интервала вблизи основной частоты. В действительности, монохроматические волны – это абстракция, никогда не реализующаяся на практике. То, что мы называем монохроматическими волнами, всегда представляет собой группу волн, заполняющих небольшой спектральный интервал. Если изучать распространение волнового пакета в таких условиях, когда скорость распространения монохроматических волн есть функция их частоты, то оказывается, что группа волн в целом обладает скоростью, отличной от скорости распространения отдельных волн, составляющих эту группу. Эта групповая скорость определяется средней частотой группы волн и зависит от изменения индивидуальных волновых скоростей с изменением частоты. Указанная зависимость дается формулой Рэлея – знаменитого английского физика, впервые указавшего на это свойство. Можно попытаться применить эту теорию групповой скорости к волне, связанной с частицей, а затем установить соответствие между движущейся прямолинейно и равномерно частицей, обладающей заданной энергией, и распространением в том же направлении группы волн, средняя частота которых равна этой энергии, деленной на h. Применяя формулу Рэлея, мы видим тогда, что скорость волнового пакета равна скорости, которую классическая механика приписывает рассматриваемой частице. Это замечательное совпадение знаменательно, ибо оно означает, что частица в процессе движения остается связанной со своей группой волн. Но сверх того, общая теория колебаний гласит, что групповая скорость есть не что иное, как скорость переноса энергии волнами. Поскольку в нашей дуалистической концепции энергия приписывается частице, то естественно, что групповая скорость связанных с частицей волн должна быть равна скорости частицы.

Эти первые удовлетворительные результаты еще не полны. Они установлены пока только для очень специального случая прямолинейного равномерного движения частицы в отсутствии внешнего поля. Однако не составляет особого труда обобщить эти результаты. Рассмотрим, например, движение частицы в постоянном поле. Теория Якоби предлагает рассматривать траектории частиц как лучи распространения некоторых волн. Отождествляя принцип наименьшего действия и принцип Ферма, снова приходим к тому же соотношению, связывающему частицу с ее волной: энергия (постоянная) частицы равна частоте волны, умноженной на h, а импульс частицы, который меняется в поле сил от точки к точке, равен постоянной h, деленной на длину соответствующей волны, подобным же образом меняющуюся в пространстве.Можно и дальше обобщить эти результаты, рассмотрев случаи, когда поля зависят от времени. В этом случае снова обнаружим, что соотношения между динамическими характеристиками частицы и частотой и длиной связанной с ней волны остаются теми же самыми.

Обобщая таким образом параллелизм между частицей и связанной с ней волной, мы идем по правильному пути. Действительно, если мы рассмотрим, как ведут себя внутри атома Бора волны, связанные с электронами, придем к пониманию внутреннего смысла условий квантования: связанная с электроном волна оказывается резонансной как раз на длине его траектории. Иными словами, волна, соответствующая стационарному состоянию атомного электрона, сама стационарна в смысле теории колебаний.

Чтобы осознать действительную важность этого результата, напомним кратко, что такое стоячая стационарная волна. Если в ограниченной среде могут распространяться волны какого угодно сорта, то в ней устанавливаются стоячие волны, т е. такие колебания, конфигурация которых в пространстве не меняется с течением времени. Форму этих колебаний можно сразу определить из характера уравнения, описывающего распространение, волны, геометрии границ среды и условий на этих границах. Например, часто бывает, что условия на границах среды требуют, чтобы колебания на этих границах обращались в нуль (колеблющиеся струны с закрепленными концами, радиоантенны, изолированные на обоих концах и т д.). В этом случае мы должны искать решения волнового уравнения, периодические во времени и обращающиеся в нуль на границах среды; их амплитуды везде должны быть конечными, однозначно определенными и непрерывными внутри среды. Нахождение этого решения представляет собой математическую задачу о собственных значениях уравнения в частных производных для определенной области пространства и определенных