– То есть, дядя, вопрос стоял так: «все или ничего»?
Он медленно кивнул:
– Можно сформулировать и так.
– И это был конец твоего творческого пути? Больше ты уже не возвращался к проблеме Гольдбаха?
Он поглядел на меня удивленно:
– Возвращался, конечно! На самом деле именно после этого я сделал всю основную работу. – Он улыбнулся. – Мы до этого еще дойдем, мой мальчик. Не беспокойся, в истории моей жизни не будет
И он вдруг громко рассмеялся собственной шутке – слишком громко, подумалось мне. Потом наклонился ко мне и, понизив голос, спросил:
– Ты посмотрел теорему Гёделя о неполноте?
– Посмотрел, – ответил я, – но не понимаю, какое она имеет отношение к…
Он резко поднял руку, обрывая мою речь.
Мне стало легче, когда он добавил более нормальным голосом:
– «Мы должны знать, мы будем знать! В математике нет
Дядя Петрос вернулся к своему рассказу.
Философией Евклида было преобразование случайного собрания наблюдений над числами и геометрическими фигурами в хорошо организованную систему, где, взяв за основу принятые априори элементарные истины, можно с помощью логических операций, шаг за шагом прийти к строгому доказательству всех истинных утверждений. Математика – как дерево с сильными корнями (Аксиомы), могучим стволом (Строгое Доказательство) и вечно растущей кроной, расцветающей чудесными цветами (Теоремы). Все математики следующих времен – геометры, алгебраисты, специалисты по теории чисел, и более поздние – аналитики, специалисты по алгебраической геометрии, теории групп и т.д., работники всех математических дисциплин, возникающих до сего дня (новые ветви все того же дерева) – никогда не отклонялись от курса великого пионера: Аксиомы – Строгое Доказательство – Теоремы.
С горькой улыбкой Петрос вспомнил проповеди Харди насчет гипотез, обращенные ко всем (особенно к бедняге Рамануджану, который их рождал, как плодородная почва рождает траву): не приставать к нему с гипотезами. «Доказывайте! Доказывайте!» Харди любил говорить, что если бы для благородного рода математиков понадобился геральдический девиз, ничего нельзя было бы придумать лучше этого: «Quod Erat Demonstrandum» [20].
В 1900 году на Втором международном конгрессе математиков в Париже Гильберт объявил, что настало время довести древнюю мечту до ее окончательных следствий. В настоящий момент у математиков есть язык формальной логики, которого не было у Евклида, и этот язык позволяет изучать строгим образом саму математику. Следовательно, святая троица Аксиомы – Строгое Доказательство – Теоремы должна быть применена не только к числам, фигурам или алгебраическим сущностям различных математических теорий, но и к самим теориям. Математики могут наконец строго доказать то, что в течение двух тысячелетий было их главным кредо, не подвергаемым сомнению, центром всего взгляда на математику: а именно, что в математике любое истинное утверждение доказуемо.
Через несколько лет Рассел и Уайтхед выпустили свой монументальный труд «Principia Mathematica», впервые предложив абсолютно строгий способ рассуждений о дедукции: теорию доказательств. И хотя это новое средство много обещало в смысле окончательного ответа на вызов Гильберта, двум английским логикам не удалось фактически доказать критическое свойство. Полнота математических теорий (то есть тот факт, что в них любое истинное утверждение доказуемо) еще не была доказана, но уже ни у кого не оставалось ни малейших сомнений ни в уме, ни в сердце, что когда-нибудь – и очень скоро – такое доказательство появится. Математики продолжали верить, как верил Евклид, что обитают в Царстве Абсолютной Истины. Победный клич, произнесенный на Парижском конгрессе – «Мы должны знать, мы будем знать, в математике нет
Я перебил это увлеченное историческое отступление:
– Дядя, я это все знаю. Раз ты заставил меня ознакомиться с теоремой Гёделя, то очевидно, что я знаю и её предысторию.
– Это не предыстория, – поправил меня дядя, – а психология. Ты должен понять тот эмоциональный климат, в котором работали математики в те счастливые дни до Курта Гёделя. Ты меня спросил, как я набрался духу продолжать работу после такого огромного разочарования. Так вот как это было…
Несмотря на то что дядя еще не смог достичь своей цели и решить проблему Гольдбаха, он твердо верил, что эта цель достижима. И вера его, как духовного внука Евклида, была абсолютна. Так как утверждение Проблемы почти наверняка верно (в этом никто всерьез не сомневался, если не считать Рамануджана с его неясным «предчувствием»), ее доказательство где-то существует в каком-то виде. Дядя пояснил примером:
– Представь себе, что твой друг куда-то засунул в доме ключ и просит тебя помочь его найти. Если ты веришь, что память его не подводит, и абсолютно доверяешь его честности, что это значит?
– Это значит, что он действительно потерял ключ где-то в доме.
– А если он тебя еще и заверяет, что больше никто в дом не входил?
– То мы можем предположить, что ключ не был вынесен из дома.
– Эрго [21]?
– Эрго, ключ находится в доме, и после достаточно долгих поисков – в предположении, что дом конечен, – мы его рано или поздно найдем.
Дядя зааплодировал.
– Превосходно! Именно эта уверенность питала мой возрожденный оптимизм. Когда первое потрясение прошло, я однажды утром поднялся и сказал себе: «Какого черта – ведь доказательство же где-то есть!»
– И что?
– И то, мой мальчик, что если доказательство существует, то кому-то суждено его найти!
Это рассуждение до меня не дошло.
– Я не вижу, чем это тебя утешило, дядя Петрос. Из того факта, что доказательство существует, никак не следует, что именно тебе суждено его найти.
Он поглядел на меня так, словно я не заметил очевидного:
