Квантовая магия

(читай: «набла») — к векторам или тензорам). Внешняя производная, или градиент, является более строгой формой понятия «дифференциал». В отличие от дифференциала

df

, который выражает изменение f в некотором произвольном направлении, градиент характеризует изменение функции в определенном направлении, заданном бесконечно малым вектором смещения v. Если быть более точным, градиент

df

представляет собой совокупность поверхностей уровня f ^a = const и характеризует их «близость» друг к другу, плотность «упаковки» в элементарном объеме в направлении v, с точностью до приближения их плоскостями и размещения через равные промежутки (вследствие линейности оператора). Результатом пересечения

df

вектором смещения v является число a

df

, vn = ?_v f. Это выражение определяет связь между градиентом

df

и производной по направлению ?_v f. Введя вектор v в линейную машину

df

, на выходе мы получаем ?_v f — число пересеченных плоскостей при прохождении v через

df

, число, которое

при

достаточно малом v равно приращению f между основанием и острием вектора v.

Задание 1-формы в данной точке (связь с точечным описанием) для некоторого геометрического объекта, описывающего физическую величину, например, для тензора произвольного ранга (0-ранг — скаляр, 1-ранг — вектор или 1-форма, 2-ранг — тензор второго ранга и т. д.), предполагает выполнение трех основных операций. Это, прежде всего, задание вектора смещения, в направлении которого данный объект меняется от точки к точке. Во-вторых: моделирование исходного объекта в окрестностях каждой точки в виде плоских поверхностей уровня, расположенных на одинаковых расстояниях.

И

наконец, подсчет числа пересечений этих плоскостей вектором смещения. Поскольку образование 1-формы (градиента) от произвольного тензора предполагает одновременное задание вектора смещения, появляется дополнительный входной канал, и ранг исходного тензора увеличивается на единицу.

Таким образом, дифференциальная геометрия дает более строгое определение градиента в качестве 1-формы, в отличие от обычных представлений градиента как вектора. Градиент, который нам более знаком, — это всего лишь вектор, поставленный в соответствие 1-форме градиента с помощью уравнения (которое уже приводилось) f · v = a

df

, vn, где слева стоит скалярное произведение двух векторов, и f — градиент в виде вектора.

Дифференциальная геометрия расширяет также понятие тензора. Если обычно под тензором понимается линейный оператор с входными каналами для векторов и выходными данными либо в виде вещественных чисел, либо в виде векторов, то теперь во входной канал может подаваться не только вектор, но и 1-форма.

В качестве примера рассмотрим координатное представление тензора второго ранга. В отличие от обычного вектора, который может быть разложен лишь в одном произвольном базисе из ортонормированных векторов (поэтому его можно считать тензором первого ранга), тензор второго ранга разлагается на компоненты в двух базисах. В качестве любого из этих базисов (или обоих сразу) могут служить либо наборы из обычных базисных векторов e_?, либо совокупность так называемых базисных 1-форм w^? =

dx

^?. Базисные 1-формы — это координатные поверхности x^? =

const

. Следовательно, базисный вектор e_? пересекает только одну поверхность

базисной

1-формы w^? (перпендикулярную e_?).

Точно так же, как произвольный вектор можно разложить по базису e_?, v = ?^?e_?,

произвольную

1-форму можно разложить по базису w^?, ? = ?_?w^?. Коэффициенты ?^? и ?_? называются компонентами вектора v и 1-формы s в базисе e_?и w^? соответственно.

Вводя в некоторый тензор второго ранга S произвольные вектор v и 1-форму ? и, зная компоненты их разложения в своих базисах, через них можно выразить компоненты самого тензора S(v, ?) = S (e_?, w^?) v^??_? = S_?^?v^??_?.

Словарь терминов

Вектор состояния — полное описание замкнутой системы в выбранном базисе. Задается лучом гильбертова пространства.

Волновая функция (волновой вектор) — частный случай вектора состояния, одно из координатных его представлений, когда в качестве базиса выбираются пространственно-временные координаты.

Гильбертово пространство (пространство состояний) — совокупность всех потенциально возможных состояний системы.

Декогеренция — физический процесс, при котором нарушается нелокальность и уменьшается квантовая запутанность между составными частями системы в результате ее взаимодействия с окружением. При этом подсистемы «проявляются» из нелокального состояния в виде отдельных самостоятельных элементов реальности, они обосабливаются, отделяются друг от друга, приобретая видимые локальные формы.

Запутанность — см. несепарабельность.

Интерференция — одно из наиболее широко известных проявлений суперпозиции состояний (например, в оптике). Интерференцией света в тонких пленках объясняется, например, радужная окраска мыльных пузырей и масляных пленок. Интерференция имеет место только для когерентных состояний. Декогеренцию (нарушение когерентности) в этом случае можно рассматривать как подавление интерференции. Каждая частица (например, фотон) интерферирует лишь сама с собой. Интерференции между двумя разными фотонами никогда не происходит, точнее, реализовать эту ситуацию на практике (экспериментально) очень сложно.

Квантовая система — это словосочетание указывает не на размер системы (

микроуровень

), а на способ