30. Математики и знатоки головоломок, коим ведомы тайны перестановок, подсчитали, что из четырех монет и брелока в виде орла можно сделать не менее 92 160 различных цепочек так, чтобы никакие две из них не оказались полностью одинаковыми.
Очевидно, что большую монету можно зацепить за любую из пяти дырок и повернуть к нам любой стороной, что дает 10 комбинаций. Поскольку следующая монета может быть соединена восемью способами, то общее число комбинаций из двух первых монет равно 80. Если это умножить на 6 комбинаций следующей по размеру монеты, на 4 комбинации последней монеты и на 2 положения орла, то, располагая монеты, как показано на рисунке, по уменьшающимся размерам, мы получим 3840 комбинаций. Поскольку мы можем переставить между собой 4 монеты 24 способами, то общее число всевозможных комбинаций равно, как и утверждалось, 92 160.
31. Гуляющие пары смогут переправиться за 17 ездок. Пусть
[Существуют и другие способы решения данной задачи за 17 ходов; но, как объясняет Г. Э. Дьюдени, это решение содержит наименьшее число «посадок» и «высадок». Если имеются три пары, то остров не является необходимым, однако в случае четырех пар решить задачу при заданных условиях без острова невозможно. –
32. Возраст первой девочки составлял 638 дней, а мальчику было вдвое больше, то есть 1276 дней. На следующий день самой юной девочке было 639 дней, а ее вновь пришедшей в класс сестре – 1915 дней, что в сумме составляет 2554 дня и ровно вдвое превышает возраст мальчика, равный 1277 дням. На следующий день мальчик, которому было уже 1278 дней, привел своего старшего брата в возрасте 3834 дней, так что их суммарный возраст составил 5112 дней; а это вдвое больше возраста девочек, равного уже 640 + 1916 = 2556 дням.
На другой день возраст каждой девочки увеличился на 1, что в сумме дает 2558 дней, а вместе со старшей сестрой, которой было 7670 дней, их суммарный возраст составил 10228 дней, что ровно вдвое больше возраста мальчиков, достигшего в этот день 5114 дней.
Таким образом, мы подошли к 7670 дням. Юная леди достигла 21-летнего возраста; 21 х 365 = 7665 плюс 4 дня, добавленные на високосные годы, да еще один день, который явился ее 21-м днем рождения.
Читатели, которые полагали, что возраст мальчика равнялся 31/2 годам, проглядели то обстоятельство, что возраст учеников увеличивался с каждым днем.
33. Существует только один способ выполнить данное задание за 14 поворотов, хотя с еще одним лишним поворотом таких способов будет тысяча и один.
34. Объединенная «тяга» четырех тучных парней в точности равна тяге пяти пышных сестер. Поскольку на втором рисунке показано, что пара тощих близнецов равна по силе одному тучному парню и двум пышным девицам, мы можем упростить задачу, заменив на третьем рисунке двух тощих близнецов их «тяговым эквивалентом», то есть поставив вместо них толстого парня и двух пышных девиц.
Теперь у нас пять пышных сестер и один тучный парень противостоят одной пышной девице и четырем тучным парням. Мы можем удалить четырех тучных парней с одной и пять пышных девиц с другой стороны каната, ибо, согласно первому рисунку, их силы равны. При этом слева останется один тучный парень, а справа – одна пышная девица. Таким образом, выиграет левая команда, поскольку ее тяговая сила на 1/5 силы парня больше, чем у правой команды,
35. Можно представить себе, что объем, заключенный внутри мяча, разбит на огромное число узеньких пирамид, все вершины которых расположены в центре мяча, а основания лежат на его поверхности. Мы знаем, что объем пирамиды равен произведению площади ее основания на 1/3 высоты. Следовательно, объем шара равен сумме площадей оснований пирамид, то есть сферы, умноженной на 1/3постоянной высоты (радиуса). Поскольку объем шара численно равен площади сферы, отсюда следует, что 1/3 радиуса равна 1. Значит, радиус футбольного мяча равен 3, а его диаметр – 6 дюймам.[26]
36. Озеро содержало ровно 11 акров; ответ «около 11 акров» не достаточно правилен. Точный ответ получается с помощью известной теоремы Пифагора, утверждающей, что квадрат гипотенузы прямоугольного треугольника равен сумме квадратов его катетов.
На рисунке у треугольника
37. Решения показаны на рисунках.
38. После замужества три невесты стали носить имена: Китти Браун, Нелли Джонс и Минни Робинсон, Китти весила 122, Нелли – 132, а Минни – 142 фунта.
39. Каждый камень в сережках весил 5 каратов, так что стоил он 2500 долларов, а цена обоих камней составляла 5000 долларов. Вес камней различной величины составил соответственно 1 карат (100 долларов) и 7 каратов (4900 долларов), а их суммарная стоимость также равна 5000 долларов.
40. В наилучшем решении требуется провести всего лишь два прямых разреза и перевернуть одну часть другой стороной кверху – прием, обычный в столярном деле, о котором не подумал ряд почитателей Евклида.
Не играет роли, если угол, образованный отрезком
41.
42. Разговор происходил в 9 ч 36 мин утра. Одна четверть времени, прошедшего с полуночи до момента разговора, равна 2 ч 24 мин, а половина времени от момента разговора до полуночи составляет 7 ч 12 мин; в сумме как раз и получается 9 ч 36 мин.
Если бы Мак-Гуир не пожелал Клэнси доброго утра (это указывает на то, что разговор происходил до полудня), то правильным ответом могло быть в равной мере и 7 ч. 12 мин. вечера.
43. Если минутная стрелка движется в 12 раз быстрее часовой, то они сливаются 11 раз в течение каждого 12-часового периода. Приняв одиннадцатую часть 12 ч за нашу основную константу, мы находим, что слияние стрелок будет происходить через каждые 65 5/11 мин, или через каждые 65 мин 27 3/11 с. Следовательно, в следующий раз стрелки сольются в 1 ч 5 мин и 27 3/11 с.
Ниже приведены моменты 11 слияний стрелок в течение каждого 12-часового периода.
12 ч 00 мин 00 с
1 ч 05 мин 27 3/11 с
2 ч 10 мин 54 6/11 с
3 ч 16 мин 21 9/11 с
4 ч 21 мин 49 1/11 с
5 ч 27 мин 16 4/11 с
