геометрической несоизмеримости с арифметической иррациональностью. В математике вместо двух обособленных понятий, — числа и отношения, возникла новая, более широкая концепция действительного положительного числа. Уже в XIII веке этот факт был констатирован с полной определенностью; Насирэддин (1201–1274) писал:
«Каждое из отношений может быть названо числом, которое определяется единицей так же, как один из членов этого отношения определяется другим из этих членов».
Можно сказать, что идея создания единой концепции действительного числа путем объединения рациональных чисел и отношений, появившаяся у математиков Византии, получила на Ближнем Востоке известное завершение. В Европе же подобная идея не появлялась довольно долго. Только с XVI века бурное развитие вычислительных средств начало приводить ученых к ее осознанию, а с достаточной степенью общности она была высказана лишь И. Ньютоном в 70-х годах XVII века (опубликована в 1707) в его «Всеобщей арифметике»:
«Под числом мы понимаем не столько множество единиц, сколько отвлеченное отношение какой-нибудь величины к другой вели
чине того же рода, принятой нами за единицу. Число бывает трех видов: целое, дробное и иррациональное. Целое число есть то, что измеряется единицей; дробное — кратной долей единицы; иррациональное число несоизмеримо с единицей».
Великий поэт и математик Омар Хайям (ок. 1048 — ок. 1122) и Насир-ад-дин ад-Туси (1201–1274) явно указывали, что каждое отношение величин, все равно, соизмеримых или нет, может быть названо числом. Величие этих достижений становится особенно ясным, если заметить, что полное признание отрицательных чисел европейскими математиками было достигнуто очень не скоро. Например, Ф. Виет (1540–1603), которому алгебра многим обязана, избегал отрицательных чисел, а в Англии протесты против отрицательных чисел раздавались даже в XVIII веке.
В XI веке тюрки-сельджуки захватили большую часть Ирана и византийских владений в Малой Азии. На этих землях народы осваивали и развивали наследие всех предшественников, и византийцев, и арабов. Омар Хайям писал стихи по-персидски, научные трактаты по-арабски, а в служебных делах пользовался тюркским языком. Потерпев неудачу в прямом поиске корней произвольного кубического уравнения, он открыл несколько способов приближенного вычисления этих корней, предлагая сделать это, используя хорошо знакомые кривые. Как только (в XVII веке) Рене Декарт добавил к ней вторую идею — описать любую кривую с помощью чисел, родилась аналитическая геометрия, в которой решение алгебраических уравнений слито воедино с теорией чисел и с наглядной геометрией.
Предчувствуя эту связь, Омар Хайям поставил много интересных вычислительных опытов. Он нашел приближенные способы деления окружности на 7 или 9 равных частей; составил подробные таблицы синусов и с большой точностью вычислил число «пи». Он догадался, что это число иррациональное, и даже не квадратичное — но доказать не смог. Не удались Хайяму и попытки доказать пятый постулат Евклида о параллельных прямых.
Влияние алгоритмически-вычислительной направленности арабской математики отразилось и на ее структуре. В ней сравнительно быстро, впервые в истории, выделилась в качестве самостоятельной математической науки алгебра. В этом факте нашло свое выражение слияние элементов алгебраического характера математики различных народов, например: геометрическая алгебра византийцев, группировка однотипных задач и попытка выработать для каждой группы единый алгоритм в Вавилоне, вычислительные задачи индийцев, приводившие к уравнениям 1-й и 2-й степени, и т. п.
В трудах математиков средневекового Востока эти алгебраические элементы были впервые выделены, собраны в новый специальный отдел математики, сформулирован предмет этого нового отдела науки и построена систематическая теория. В качестве примера такого подхода приведем высказывание Омара Хайяма:
«Алгебра есть научное искусство. Ее предмет — это абсолютное число и измеримые величины, являющиеся неизвестными, но отнесенные к какой-либо известной вещи так, что их можно определить; эта известная вещь есть количество или индивидуально определенное отношение, и к этой известной вещи приходят, анализируя условия задачи; в этом искусстве ищут соотношения, связывающие данные в задачах величины с неизвестной, которая вышеуказанным образом составляет предмет алгебры. Совершенство этого искусства состоит в знании математических методов, с помощью которых можно осуществить упомянутое определение как числовых, так и геометрических неизвестных… Алгебраические решения… производятся лишь с помощью уравнения, то есть приравниванием одних из этих степеней другим».
Европейские ученые начали знакомиться с алгеброй в начале XII века, а источником их сведений явилось сочинение «Китаб аль-Джебр валь-Мукабала» Мухаммеда бен-Муса ал-Хорезми, жившего в первой половине IX веке. Название в переводе означает: книга об операциях
Книга Хорезми пользовалась большой известностью. Термин
Но сам Хорезми никогда не высказывался о своем приоритете в алгебре. Видимо, оба приема —
Алгебраические арабские трактаты IX–XV веков, помимо решения уравнений 1-й и 2-й степени, включали в себя и кубические уравнения. К последним приводили разнообразные задачи:
а) рассечение шара плоскостью;
б) трисекция угла;
в) отыскание стороны правильного 9-угольника;
г) отыскание стороны правильного 7-угольника, и другие.
Одна из задач оптики: найти на данной окружности такую точку, чтобы луч, падающий из данной точки A, отразился в другую заданную точку В, приводила к уравнению 4-й степени.
В методах решения кубических уравнений отразилось многообразие средств, обычно присущее математике арабских ученых. Численные же решения уравнений развивались, начиная со способа проб (разработан Бируни, 972–1048) до изящного итерационного, быстро сходящегося, метода (Каши, ок. 1420).
Помимо выделения алгебры, важнейшей характерной чертой арабской математики было формирование тригонометрии. И в этой области происходил синтез разнообразных тригонометрических элементов: исчисление хорд и соответственные таблицы предшествующих ученых, в особенности результаты Птоломея и Менелая, операции с линиями синуса и косинуса у индийцев, накопленный опыт астрономических измерений.
Используя этот разнородный материал, математики стран Ближнего Востока и Средней Азии ввели все основные тригонометрические линии. В связи с задачами астрономии они составили таблицы тригонометрических функций с большой частотой и высокой точностью. Данных накопилось при этом так много, что стало возможным изучать свойства плоских и сферических треугольников, способы их решений. Получилась стройная система тригонометрии как плоской, так и сферической. Ее представляет, например, сочинение Насирэддина (1201–1274) «Трактат о полном четырехстороннике».
Тригонометрия в математике средневекового Востока приобрела положение отдельной математической науки. Из совокупности вспомогательных средств астрономии она преобразовалась в науку о тригонометрических функциях в плоских и сферических треугольниках и о способах решения этих треугольников. Алгоритмически-вычислительные средства стали играть в ней преобладающую роль. Оставался один только шаг: введение специфической символики, чтобы тригонометрия приобрела привычный нам аналитический облик. Однако для этого шага понадобилось много времени! Дальнейшее развитие эта наука получила со второй половины XVI века в Европе, в первую очередь под влиянием запросов мореплавания и астрономии. В конце этого века появилось и название науки, «тригонометрия», от греческих слов
В ряду геометрических сочинений обращают на себя внимание глубокие исследования по основаниям геометрии. В сочинениях Хайяма и Насирэддина мы находим попытки доказательства постулата о параллельных, основанные на введении эквивалентных этому постулату допущений. Имена этих математиков с полным правом могут быть помещены историками в длинном ряду предшественников неевклидовой геометрии.
Примерно в середине XV века развитие математических наук в описываемых нами здесь арабских регионах замедляется и прекращается. Причины этого явления лежат вне математики: они — в наступившем экономическом разобщении обширных территорий, о которых шла речь выше.
Математика европейского Средневековья
В Западной Европе математика не имеет столь древнего происхождения, как в странах Ближнего и Дальнего Востока. Заметные успехи появились тут лишь в эпоху позднего Средневековья и особенно Возрождения. А основной организационной предпосылкой развития математики в Европе стало открытие учебных заведений. Одно из первых организовал во французском городе Реймсе Герберт (940–1003), позже ставший римским папой с именем Сильвестр II.
Французский монах Герберт из Орильяка — первый профессиональный ученый католической Европы. В 970-е годы он поселился в Барселоне, выучил арабский язык и начал беседовать с учеными иноверцами обо всем на свете. Астрономия и арифметика, изготовление бумаги и музыкальных инструментов, во всем этом жители Андалузии превосходили лучших мастеров Франции или Италии, и все это Герберт старался перенять. Через пять лет он сделал очередной шаг: направился в центр Андалузии — Кордову, и три года учился у местных мудрецов. Ему не раз предлагали принять ислам. Но у него была другая цель: соединить арабскую мудрость, ученость древних греков и римлян с христианским богословием; сделать этот сплав достоянием всех католиков.
Вернувшись во Францию, Герберт устроил в городе Реймсе училище по своему вкусу. В нем юноши обучались латыни и греческому, а желающие — также арабскому и древнееврейскому языкам. Кроме этого, преподавались астрономия и музыка, арифметика на основе арабских цифр. Все необходимые приборы строил сам Герберт с помощью учеников. Гербер привез с собой много книг из-за Пиренеев; это были Платон и Аристотель, Евклид и Птолемей, множество
