Трудно поверить, что такое вообще может быть, но односторонняя поверхность действительно существует — реальная, осязаемая вещь, которую каждый может построить в один миг. В том, что у листа Мебиуса есть лишь одна сторона, сомневаться не приходится, и это свойство он сохраняет, как бы вы ни растягивали и ни деформировали его.
Но вернемся к нашей истории. Я преподавал математику в Чикагском университете и защитил докторскую диссертацию по топологии, поэтому мне без особого труда удалось вступить в общество «Мебиус». Нас было не очень много — всего лишь двадцать шесть человек, главным образом чикагских топологов, но некоторые члены общества работали в университетах соседних городов.
Мы устраивали ежемесячные заседания, носившие сугубо академический характер, но раз в году — 17 ноября (в день рождения Мебиуса) — собирались на банкет и приглашали в качестве гостя какого-нибудь знаменитого тополога, который выступал с лекцией.
Не обходилось на наших банкетах и без развлечений. Но в нынешнем году с фондами у нас было туговато, и мы решили отпраздновать годовщину патрона нашего общества в «Пурпурных шляпах», где цены были вполне умеренные, а после лекции можно было спуститься в зал и посмотреть программу варьете. С гостем нам повезло: наше приглашение принял знаменитый профессор Сляпенарский, первый тополог мира и один из величайших математических гениев нашего века.
Профессор Сляпенарский пробыл в Чикаго несколько недель, читая в университете курс лекций по топологическим аспектам теории относительности Эйнштейна. Я имел с ним несколько бесед на профессиональные темы в университете, мы подружились, и я пригласил его на банкет.
В «Пурпурные шляпы» мы поехали вместе на такси, и по дороге я попросил его рассказать в общих чертах то, о чем он собирался говорить на лекции. Но Сляпенарский в ответ только улыбнулся и посоветовал запастись терпением, благо ждать осталось совсем недолго. Тема лекции «Нульсторонние поверхности» вызвала среди членов общества «Мебиус» такие оживленные толки, что даже профессор Роберт Симпсон из Висконсинского университета письменно уведомил правление о своем намерении прибыть на банкет. Ни на одном заседании в этом году профессор Симпсон присутствовать не соизволил!
Нужно сказать, что профессор Симпсон считался признанным авторитетом по топологии на Среднем Западе и был автором нескольких важных работ по топологии и теории поля, в которых выступал с резкими нападками на основные тезисы теории Сляпепарского.
Мы прибыли вовремя. После того как наш почетный гость был представлен профессору Симпсону и другим членам общества, мы сели за стол. Я обратил внимание Сляпенарского на традицию оживлять наши банкеты мелкими деталями, выдержанными в «топологическом духе». Например, серебряные кольца для салфеток были выполнены в форме листов Мебиуса. К кофе подавали специально испеченные бублики, а кофейник был изготовлен в виде «бутылки Клейна».
После обеда за десертом нам подали эль от Баллантайна и крендельки, испеченные в форме двух разновидностей тройного узла, переходящих друг в друга при зеркальном отражении (выбор устроителей банкета пал на эль из-за торговой марки этого напитка: трех сцепленных колец, распадающихся, если убрать какое-либо из них). Сляпенарского позабавили эти топологические безделушки, и он высказал немало предложений на будущее, слишком сложных, чтоб объяснять их здесь.
После моего краткого вступительного слова Сляпенарский встал, поблагодарил присутствующих улыбкой за аплодисменты и откашлялся. В столовой мгновенно наступила тишина. Читатель уже представляет наружность профессора — его внушительную фигуру, рыжеватую бороду и сверкающую голову без единого волоска. В выражении лица Сляпенарского была какая-то особая многозначительность, показывающая, что нам предстоит узнать из его лекции нечто весьма важное, пока известное лишь ему одному.
Изложить сколь-нибудь подробно блестящий, но доступный пониманию только специалистов доклад Сляпенарского вряд ли возможно. Суть его сводилась к следующему. Лет десять назад Сляпенарский наткнулся в одном из менее известных трудов Мебиуса на утверждение, поразившее его воображение. По словам Мебиуса, теоретически не существовало причин, по которым поверхность не могла бы утратить обе свои стороны, то есть, иными словами, стать «нульсторонней».
Разумеется, пояснил профессор, такую поверхность невозможно представить себе наглядно, также как квадратный корень из минус единицы или гиперкуб в четырехмерном пространстве. Но абстрактность понятия отнюдь не означает, что оно лишено смысла или не может найти применения в современной математике и физике.
Не следует забывать и о том, продолжал профессор, что те, кто никогда не видел лист Мебиуса и не держал его в руках, не могут представить себе даже одностороннюю поверхность. Немало людей с хорошо развитым математическим воображением отказываются верить в существование односторонней поверхности, даже когда лист Мебиуса у них в руках.
Я взглянул на профессора Симпсона, и мне показалось, что при этих словах он чуть заметно улыбнулся.
На протяжении многих лет, продолжал Сляпенарский, он упорно стремился построить нульстороннюю поверхность. По аналогии с известными типами поверхностей ему удалось изучить многие свойства нульсторонней поверхности. Наконец долгожданный день настал. Сляпенарский выдержал паузу, чтобы посмотреть, какое впечатление его слова произвели на слушателей, и окинул взглядом замершую аудиторию. Наконец настал день, когда его усилия увенчались успехом, и он построил нульстороннюю поверхность.
Подобно электрическому разряду, его слова обежали сидевших за столом. Каждый встрепенулся, удивленно посмотрел на соседа и уселся поудобнее. Профессор Симпсон яростно затряс головой. Когда Сляпенарский отошел в дальний конец столовой, где была приготовлена классная доска, Симпсон повернулся к соседу слева и шепнул: «Чушь несусветная! Либо Сляппи совсем спятил с ума, либо он просто вздумал подшутить над нами».
Мне кажется, что мысль о розыгрыше пришла в голову многим из присутствовавших. Я видел, как некоторые из них недоверчиво улыбались, пока профессор вычерчивал на доске сложные схемы.
После некоторых пояснений (их я полностью опускаю из опасения, что они были бы совершенно непонятны большинству читателей) профессор заявил, что хотел бы в заключение лекции построить одну из простейших нульсторонних поверхностей. К этому времени все присутствовавшие, не исключая и меня, обменивались понимающими улыбками. На лице профессора Симпсона улыбочка была несколько напряженной.
Сляпенарский достал из кармана пиджака пачку синей бумаги, ножницы и тюбик с клеем. Он вырезал из бумаги фигурку, до странности напоминавшую бумажную куклу: пять длинных выступов, или отростков, походили на голову, руки и ноги. Затем он сложил фигурку и стал аккуратно склеивать концы отростков. Процедура была весьма деликатная и требовала большой осторожности, выступы весьма хитроумно переплетались. Наконец, осталось только два свободных конца. Сляпенарский капнул клеем на один из них.
— Джентльмены, — сказал он, держа перед собой замысловатое сооружение из синей бумаги и поворачивая его так, чтобы все могли видеть, — сейчас вы увидите первую публичную демонстрацию поверхности Сляпенарского.
С этими словами профессор прижал один из свободных концов к другому.
Раздался громкий хлопок, как будто лопнула электрическая лампа, — и бумажная фигурка исчезла!
На мгновение мы замерли, а потом все как один разразились смехом и аплодисментами.
Разумеется, мы были убеждены, что стали жертвами тонкого розыгрыша. Но нельзя не признать, что исполнено все было великолепно. Как и другие участники банкета, я полагал, что Сляпенарский показал нам остроумный химический фокус и что бумага была пропитана особым составом, позволяющим поджечь ее трением или каким-то другим способом, после чего она мгновенно сгорела, не оставив и пепла.
Профессор Сляпенарский, казалось, был озадачен дружным смехом, и лицо его приобрело неотличимый от бороды цвет. Он смущенно улыбнулся и сел. Аплодисменты мало-помалу стихли.
Мы все столпились вокруг нашего гостя и наперебой шутливо поздравляли его с замечательным открытием. Старший из официантов напомнил нам, что для тех, кто хотел бы заказать напитки и посмотреть программу варьете, внизу заказаны столики.
Столовая постепенно опустела. В комнате остались только Сляпенарский, Симпсон и ваш покорный слуга. Два знаменитых тополога стояли у доски. Симпсон, широко улыбаясь, указал на один из чертежей:
— Ошибка в вашем доказательстве скрыта необычайно остроумно, профессор. Не знаю, заметил ли ее еще кто-нибудь из присутствующих.
Лицо Сляпенарского было серьезно.
— В моем доказательстве нет никакой ошибки, — заметил он не без раздражения.
— Да полно вам, профессор, — возразил Симпсон, — ошибка вот здесь.
Он коснулся пальцем чертежа:
— Пересечение этих линий не может принадлежать многообразию. Они пересекаются где-то вне многообразия. — Он сделал неопределенный жест вправо.
Лицо Сляпенарского снова покраснело.
— А я говорю вам, что никакой ошибки здесь нет, — повторил он, повысив голос, и медленно, тщательно выговаривая, как бы выстреливая слова, повторил шаг за шагом все доказательство от начала до конца, постукивая для пущей убедительности по доске костяшками пальцев.
Симпсон слушал с мрачным видом и в одном месте прервал Сляпенарского, возразив ему что-то. Сляпенарский мгновенно парировал возражение. Последовало еще одно замечание, но и оно не осталось без ответа. Я не вмешивался в их спор, поскольку он уже давно вышел за рамки моего понимания и воспарил к недоступным мне высям топологии.
Между тем страсти у доски накалялись, и оппоненты говорили все громче и громче. Я уже говорил о давнем споре Симпсона со Сляпенарским по поводу нескольких топологических аксиом. О них-то теперь и зашла речь.
— А я говорю вам, что ваше преобразование не взаимно-непрерывно и, стало быть, эти два множества не гомеоморфны, — кричал Симпсон.
На висках Сляпенарского вздулись вены.
— Не будете ли вы так любезны объяснить в таком случае, каким образом исчезло мое многообразие? — заорал он в ответ.
— Дешевый трюк, ловкость рук и ничего больше, — презрительно фыркнул Симпсон. — Не знаю, да и знать не хочу, как вы его делаете, но ясно одно: ваше многообразие исчезло не из-за того, что стало нульсторонним.
— Ах, не стало? Не стало? — процедил Сляпенарский сквозь зубы и, прежде чем я успел вмешаться, нанес своим огромным кулаком удар Симпсону в челюсть. Профессор из Висконсина со стоном упал на пол. Сляпенарский обернулся ко мне о грозным видом.
— Не вздумайте вмешиваться, молодой человек, — предупредил он меня. Профессор был тяжелее меня по крайней мере на сотню фунтов, и я, вняв предупреждению, отступил.
О дальнейшем я вспоминаю с ужасом. С налитыми кровью глазами Сляпенарский присел рядом с распростертой фигурой своего оппонента и принялся сплетать его руки и ноги в фантастические узлы. Он складывал своего коллегу из Висконсина так же, как полоску бумаги! Раздался взрыв — и в руках у
