3. а) Верно ли, что мнение островитянина по поводу того, относится ли он к дневному, или ночному типу, никогда не меняется?
б) Верно ли, что представление островитянина о том, бодрствует ли он в данный момент или спит, никогда не меняется?
4. Как-то одна из жительниц острова решила, что она либо спит, либо относится к ночному типу, либо имеет место и то и другое сразу. («Либо» в данном случае означает по крайней мере одну или, быть может, обе возможности.)
Можем ли мы определить, спала она или бодрствовала в данный момент? Можем ли мы также выяснить, к какому типу принадлежит эта обитательница острова?
5. Как-то один островитянин посчитал, будто он спит и относится к дневному типу. Что можно сказать о нем на самом деле?
6. На острове живет супружеская пара по фамилии Калп. В какой-то момент мистер Калп счел, что он вместе со своей женой принадлежит к ночному типу. В то же самое время миссис Калп сочла, что оба они не принадлежат к ночному типу. При этом оказалось, что один из них в этот момент бодрствовал, а другой спал.
Кто же из них бодрствовал?
7. На острове живет еще одна супружеская пара по фамилии Байрон. Один из супругов принадлежит к ночному типу, а другой — к дневному. В какой-то момент жена Байрона сочла, что они оба либо бодрствуют, либо спят одновременно. В тот же момент ее муж счел, что это не так.
Кто из них был прав?
8. А вот особенно интересный случай: как-то раз один островитянин по имени Эдвард подумал с удивлением, что он и его сестра Элейн принадлежат к ночному типу, и в то же время — будто он сам к ночному типу не относится.
Как это могло случиться? Принадлежит Эдвард к ночному или дневному типу? А к какому типу относится его сестра? Спал Эдвард в этот момент или бодрствовал?
9. Королевская семья.
На острове Сновидений есть король, королева и принцесса. Однажды принцесса подумала, что ее родители принадлежат к разным типам. Спустя 12 часов состояние ее изменилось (то ли она проснулась, то ли заснула), и тогда она решила, что ее отец относится к дневному типу, а мать—к ночному.
К какому типу принадлежит король, и к какому типу — королева?
10. А что думаете вы по поводу колдуна? Ясно, что на таком острове никак нельзя обойтись без чародея, волшебника, колдуна или еще кого-нибудь в том же духе. Оказывается, на острове действительно имеется колдун и притом только один. А теперь позвольте предложить вам крайне любопытную задачку, связанную с этим колдуном.
Как-то раз один островитянин по имени Орк размышлял о том, не является ли он сам колдуном. В конце концов Орк пришел к выводу, что если он принадлежит к дневному типу и в этот момент бодрствует, то именно он должен быть колдуном. В то же самое время другой островитянин по имени Борк заключил, что если он либо принадлежит к дневному типу и бодрствует, либо принадлежит к ночному типу и спит, то он (Борк) и есть колдун. Далее выяснилось, что Орк и Борк в это время либо оба одновременно спали, либо бодрствовали.
К какому типу принадлежит колдун — к дневному или ночному?
11. Метаголоволомка.
Однажды я предложил своему приятелю следующую задачу об этом острове:
— Один островитянин в свое время полагал, будто он принадлежит к дневному типу и бодрствует. Кто он на самом деле?
Приятель подумал немного и затем ответил:
— По-моему, этих сведений явно недостаточно, чтобы сказать что-либо определенное.
Разумеется, мой друг был абсолютно прав! Но потом он спросил меня:
— А сам-то ты знаешь, к какому типу он относился и спал он в тот момент или бодрствовал?
— Ну, конечно, — ответил я. — Как раз я хорошо знаком с этим островитянином и прекрасно знаю, к какому типу он принадлежит и в каком состоянии он в то время находился.
Тогда мой приятель задал мне весьма хитроумный вопрос:
— А скажи, если бы ты мне сообщил, к какому типу он принадлежит, было бы у меня достаточно информации, чтобы узнать, спал он или бодрствовал в тот момент?
Я сказал ему правду (то есть ответил «да» или «нет»), и он тут же сумел решить задачу.
К какому типу относился островитянин и спал он в то время или бодрствовал?
12. Более сложная метаголоволомка.
В другой раз я предложил приятелю следующую задачу, связанную с этим островом:
— Одна жительница острова в какой-то момент сочла, будто она принадлежит к ночному типу и спит. Что было с ней на самом деле?
Мой друг тотчас же сообразил, что этих сведений опять недостаточно.
— Предположим, ты сообщил бы мне, к какому типу относилась эта женщина, — сказал мне приятель, — Сумел бы я тогда ответить, спала она в тот момент или бодрствовала?
Я сказал ему правду, но он все равно не смог решить задачу (и этой информации оказалось недостаточно).
Спустя несколько дней я задал эту задачу другому приятелю (не упоминая о своем первом опыте). Этот приятель также понял, что я сообщил ему слишком мало. Тогда он задал мне следующий вопрос:
— Допустим, ты сказал бы мне, спала островитянка в тот момент или бодрствовала. Хватило бы мне информации, чтобы выяснить, к какому типу она принадлежит?
Я снова ответил правду, однако приятель и тут оказался не в состоянии решить задачу (у него тоже не было достаточно информации).
Но зато теперь у вас, читатель, имеется вполне достаточно сведений, чтобы получить ответ! Итак, к какому типу относилась обитательница острова и спала она в то время или бодрствовала?
Предположим, что остров, описанный в этой главе, существовал бы в действительности, а я был бы одним из его обитателей. К какому типу относился бы тогда я — к дневному или ночному? На этот вопрос заведомо можно ответить, основываясь на сказанном мною в данной главе!
Решения
1, 2, 3. Прежде всего заметим, что на острове должны выполняться следующие правила:
Правило 1. Во время бодрствования любой житель острова считает, что он принадлежит к дневному типу.
Правило 2. Во время сна любой островитянин полагает, что он принадлежит к ночному типу.
Правило 3. Жители дневного типа всегда уверены, что они бодрствуют.
Правило 4. Жители ночного типа всегда уверены, что они спят.
Для доказательства правила 1 предположим, что X — житель острова, который в данный момент не
