Вечные отмирающие числа
Однажды вечером Крейг случайно повстречал Мак-Каллоха и Фергюссона. Они давно не виделись, все трое очень обрадовались встрече и решили вместе пойти куда-нибудь поужинать.
— А знаете, — сказал Мак-Каллох, когда ужин подходил к концу, — меня уже давно занимает одна интересная проблема.
— Это какая же? — поинтересовался Фергюссон.
— Дело вот в чем, — продолжал Мак-Каллох. — Когда я занимался изучением различных числовых машин, то столкнулся с тем, что практически в каждой машине одни числа оказываются для нее приемлемыми, а другие нет. Допустим, я ввожу в машину какое-то приемлемое число X. Тогда число Y, которое порождается этим X, вновь оказывается либо приемлемым, либо неприемлемым. Если Y неприемлемо, то на этом весь процесс заканчивается. Если же Y оказывается приемлемым числом, то я опять ввожу его в машину и смотрю, какое число Z выдаст мне машина на этот раз. Если теперь число Z оказывается неприемлемым, то на этом процесс останавливается; если же оно приемлемо, то я вновь ввожу это число в машину и процесс продолжается как минимум еще один цикл. Если я буду повторять такую процедуру снова и снова, то при этом возможны два варианта: либо я в конце концов получу неприемлемое число, либо описанный процесс будет длиться бесконечно. В первом случае я называю число X отмирающим относительно данной конкретной машины, во втором случае число X я называю вечным. Конечно, любое число может быть отмирающим для одной машины и вечным для другой.
— Давай возьмем твою первую машину, — предложил Крейг. — Я могу придумать кучу отмирающих чисел, а не можешь ли ты привести мне пример вечного числа?
— Ну хотя бы число 323,— ответил Мак-Каллох. — Ведь число 323 порождает самое себя и поэтому, сколько бы раз я не вводил его в машину, я всегда буду получать 323. Так что в данном случае процесс явно оказывается бесконечным.
— А ведь верно! — засмеялся Крейг. — Ну хорошо, а существуют ли другие вечные числа?
1. —Тогда, — продолжал Мак-Каллох, — что ты скажешь по поводу числа 3223? Отмирающее оно или вечное?
2. — А как насчет числа 32223? — спросил Фергюссон. — Оно для вашей первой машины — отмирающее или вечное?
Мак-Каллох на некоторое время задумался.
— Это не так трудно определить, — ответил он наконец — Однако я думаю, вам будет интересно разобраться в этом самому.
3. —Можете попробовать еще число 3232,—в свою очередь предложил Мак-Каллох, — попытайтесь определить— отмирающее оно или вечное.
4 — А если взять число 32323? — спросил Крейг. — Отомрет оно или нет?
5 — Все это очень интересно, — сказал Мак-Каллох, — но я еще не добрался до самого главного. А дело вот в чем: один мой приятель придумал весьма хитроумную числовую машину. Он утверждает, будто его машина может выполнять любые операции, на которые только способна числовая машина вообще. Мой друг назвал ее универсальной машиной. И вот оказывается, что есть несколько таких чисел, про которые ни я, ни он не можем сказать—отмирающие они или вечные. Поэтому мне хотелось бы разработать какой- нибудь чисто механический тест, чтобы определять, какие числа отмирающие, а какие — вечные. Правда, пока У меня ничего не выходит. Конкретнее, я пытаюсь найти такое число Н, которое для любого приемлемого числа X давало бы вечное число НХ, если X — отмирающее, и отмирающее число НХ, если X —вечное. Если бы мне это удалось, то я сразу смог бы определить, отмирающее ли или вечное любое приемлемое число X.
— А как именно это определить с помощью числа Н? — спросил Крейг.
— Если бы я нашел число Н, — объяснил Мак — Каллох, — то сначала построил бы такую же машину, как у моего приятеля. Потом, взяв произвольное приемлемое число X, я ввел бы его в одну из машин; одновременно мой приятель ввел бы число НХ в другую машину. Понятно, что описанный процесс может прекратиться только в одной из машин; если это произойдет в моей машине, я буду знать, что число X — отмирающее; если в машине моего приятеля, то я сразу пойму, что число X — вечное.
— Да ведь вам незачем строить вторую машину, — сказал Фергюссон. — Это можно сделать и на одной машине, просто переключая ее с одного процесса на другой.
— Верно, — согласился Мак-Каллох. — Но только все это пустые рассуждения, пока я не сумел найти число Н. Вполне возможно, что моя машина просто не способна решить задачу о своей собственной «выживаемости», то есть, я хочу сказать, что, быть может, такого числа Н вообще не существует. А может, это я не способен найти такое число. Вот эту то проблему, джентльмены, я и хотел бы обсудить вместе с вами.
— Ну что ж, — сказал Фергюссон, — прежде всего мы должны знать, по каким правилам работает данная машина.
— Всего в ней используется 25 правил, — начал было Мак-Каллох. — Первые два из них — те же самые, что и в моей первой машине.
— Минуточку, — прервал его Фергюссон. — Вы хотите сказать, что машина вашего приятеля подчиняется правилам 1 и 2?
— Вот именно, — ответил Мак-Каллох.
— Тогда мне все ясно, — заявил Фергюссон. — Ни одна машина, в которой действуют правила 1 и 2, не может решить задачу о своей собственной «выживаемости».
— Как же вы сумели так быстро об этом догадаться? — спросил Крейг.
— Я уже сталкивался с подобного рода вещами, — объяснил Фергюссон. — Не так давно в моей работе возникла аналогичная проблема.
И все же, как именно Фергюссон определил, что машина, подчиняющаяся правилам 1 и 2, не может решить задачу о своей собственной «выживаемости»?
Решения
1. Напомним, что число 3223 порождает число 23223, а число 23223 в свою очередь порождает число 3223. Значит, у нас есть два числа, 3223 и 23223, которые порождают друг друга. Отсюда следует, что оба они вечны: ведь если ввести в машину одно из них, то получится второе, а если ввести второе, то получится первое. Ясно, что такой процесс бесконечен.
2. Возьмем два любых числа X и У. Мы будем говорить, что число X приводит к числу У, если X порождает У, или если X порождает какое-то число, которое порождает У, или если X порождает какое-то число, которое порождает другое число, которое в свою очередь порождает У, и т. д. Иначе говоря, если, введя в машину число X, мы на каком-то этапе нашего процесса получим число У, то будем говорить, что число X приводит к числу У. Так, например, число 22222278 приводит к числу 78 фактически на шестом этапе. В более общем виде: если число Т представляет собой произвольную цепочку двоек, то для любого числа X число ТХ в конце концов приводит к X.
Далее, число 32223 не порождает самое себя, но приводит к самому себе, потому что оно порождает число 2232223, которое порождает затем число 232223, а это число в свою очередь вновь порождает 32223.
