5
На Втором Международном конгрессе математиков в 1900 году Дэвид Гильберт представил список того, что считал двадцатью тремя самыми важными нерешенными проблемами математики. Вторым пунктом в его списке стояло требование найти доказательство непротиворечивости арифметики. Подобное доказательство подтвердит непротиворечивость значительной части положений высшей математики. По сути, оно даст твердую гарантию, что никто больше не докажет, что один равен двум. Мало кто из математиков придал значение этой задаче.
5a
Рене знала, что скажет Фабризи, еще до того, как он открыл рот.
— Черт бы меня побрал, это самая невероятная штука, какую я когда-либо видел. Знаешь, есть такая игрушка для малышей, где нужно вставить блоки с различным сечением в различной формы пазы? Читать твои формулировки — все равно что смотреть, как кто-то берет один такой блок и вставляет его во все до единого отверстия на доске, и всякий раз блок входит безукоризненно.
— Значит, ты не можешь найти ошибки?
Он покачал головой.
— Куда мне! Я попал в ту же колею, что и ты. Могу рассматривать это только под одним углом.
Рене давно уже выбралась из колеи: она нашла совершенно иной подход, но он только подтвердил исходное противоречие.
— Ладно, спасибо, что попытался.
— Дашь это посмотреть кому-нибудь еще?
— Да. Думаю послать Каллагану в Беркли. Мы переписываемся с прошлой весны, после конференции.
Фабризи кивнул:
— Его последняя статья производит сильное впечатление. Дай мне знать, если он что-нибудь найдет. Любопытство, понимаешь ли.
Сама Рене употребила бы слово посильнее, чем «любопытство».
5b
Не мучится ли Рене из-за работы? Карл знал, что в математике она никогда не видела трудностей, один только интеллектуальный вызов. Может, она впервые столкнулась с проблемой, на которой застряла? Вообще бывает ли в математике такое? Сам Карл был чистым экспериментатором; на деле он даже не знал, как Рене строит свою новую математику. Звучит глупо, но вдруг у нее кончились идеи?
Рене была слишком взрослой, чтобы испытывать страдания, свойственные вундеркинду, когда он вырастает и становится таким же, как все. С другой стороны, многие математики лучшие свои открытия сделали до того, как им исполнилось тридцать, — что если она начинает тревожиться, не приближается ли она, пусть с опозданием на несколько лет, к этому порогу?
Маловероятно. Он бегло рассмотрел несколько других версий. Может, она разочаровалась в академической науке? Ее пугает, что ее исследование стало слишком уж узкоспециальным? Или просто устала от того, что делает?
Карл не верил, что подобные страхи могут быть причиной поведения Рене; он без труда воображал себе впечатления, какие скопились бы у него, будь это так, и воображаемое не укладывалось в реальность. Что бы ни тревожило Рене, он был не в состоянии угадать, и это внушало ему беспокойство.
6
В 1931 году Курт Гёдель доказал две теоремы. Первая, по сути, показывает, что математика содержит утверждения, которые, возможно, истинны, но по природе своей недоказуемы. Даже столь элементарная формальная система, как арифметика, допускает утверждения строгие, осмысленные и кажущиеся истинными, однако эта истинность не может быть доказана формальным путем.
Его вторая теорема показывает, что претензия арифметики на полноту как раз и является таким утверждением: она не может быть доказана никаким методом, опирающимся на аксиомы арифметики. Иными словами, арифметика как формальная система не может гарантировать от таких результатов, как «1 = 2». Предположим, с подобными противоречиями до сих пор никто не сталкивался, но невозможно доказать, что никто никогда с ними так и не столкнется.
6a
И снова он зашел в ее кабинет. Когда Рене подняла на него взгляд, Карл начал решительно:
— Рене, очевидно; что…
Она его оборвала:
— Хочешь знать, что меня беспокоит? Ладно, я тебе скажу. — Достав чистый лист бумаги, Рене села за стол. — Подожди, это займет всего минутку.
Карл снова открыл было рот, но Рене махнула ему, чтобы замолчал. Сделав глубокий вдох, она начала писать.
Посередине она провела черту cверху вниз, разделив страницу на две колонки. Вверху первой поставила цифру 1, вверху второй — цифру 2. Ниже стремительно нацарапала какие-то символы, которые в следующих строках развила в серию новых. Она скрежетала зубами, пока писала: было такое ощущение, что, рисуя значки, она ногтями скребет по грифельной доске.
Приблизительно в двух третях от начала страницы Рене стала сводить длинные серии символов ко все более коротким. «А теперь завершающий штрих», — подумала она. Осознала, что слишком давит на бумагу, и ослабила хватку — пальцы уже не так сжимали карандаш. В следующей строке серии стали идентичными. Внизу страницы поверх разделительной черты она с силой вывела знак равенства.
Лист она протянула Карлу.
Он только поглядел на нее, показывая, что не понимает.
— Посмотри наверх. — Он посмотрел. — Теперь посмотри вниз.
Он нахмурился.
— Не понимаю.
— Я открыла формализм, который позволяет приравнять любое число к любому другому числу. На этой странице доказывается, что один равен двум. Выбери любые два числа; я могу доказать, что и они тоже равны.
Карл как будто пытался что-то вспомнить.
— Это ведь деление на ноль, верно?
— Нет. Тут нет никаких запрещенных операций, никаких некорректно заданных условий, никаких независимых аксиом, которые бы подразумевались имплицитно, ничего. В доказательстве не использовано решительно ничего запретного.
Карл покачал головой.
— Подожди-ка. Очевидно, что единица не равна двум.
— Но формально равна — доказательство ты держишь в руке. Все мною использованное — в рамках абсолютно бесспорных утверждений.
— Но ты получила противоречие.
— Вот именно. Арифметика как формальная система является неполной.
6b
— Ты не можешь найти, где ошибка, это ты хочешь сказать?
— Да нет же, ты не слушаешь, Ты думаешь, я мечусь из-за такой малости? В доказательстве ошибки нет.
— Иными словами, ошибка в том, что считается общепринятым?
— Точно.
— Ты… — Он остановился, но слишком поздно. Она поглядела на него враждебно. Ну конечно, она
