Число и культура

больше 'целого' с, и пропорция (10) имеет эквивалентную форму a / c = с / b.

Отвечает ли отрицательный корень, или его геометрическая интерпретация, каким-либо общественно-политическим явлениям? – Не исключено. Переход от положительной к отрицательной величине в состоянии описывать процессы, связанные со стремительным выходом составных частей за пределы прежнего целого с, т.е. процессы, сходные с теми, что наблюдались, например, в эпоху бурной колонизации (великие европейские державы, до того занятые почти исключительно разделением сфер влияния на европейском континенте, во-первых, резко расширили горизонты собственного зрения и, во-вторых, осуществили реальную экспансию за прежде существовавшие общие пределы). У автора твердое впечатление, что подобное спонтанное, скачкообразное расширение былых горизонтов по существу наблюдается и в современной геополитике (особенно в конце 1980-х – начале 1990-х гг.): мы стали свидетелями открытия качественно новых источников общественно- политической, экономической жизни. Этот феномен имеет элементарное математическое толкование, но останавливаться на нем означало бы выйти за естественные рамки главы. Далее – вплоть до Приложения 2 – не будут затрагиваться явления, описываемые корнем - 1,618 и комплементарным ему 2,618, изучение ограничится лишь 'нормальными' (положительными, по модулю меньше единицы) значениями.

Примечания

1 Первоначальная большевистская постановка вопроса, хотя и исходила, возможно, из благих намерений справедливости, в сущности лишь закрепляла оппозицию 'русский – нерусский', т.к. осуществляла ее 'возгонку' с глухого бытового уровня на принципиально-идеологический, политический, тогда как в прежней системе подобная 'биологическая' проблематика официальными лицами не рассматривалась и не ставилась.

2 Хотя прошлая 'независимость' зачастую заключалась в пребывании вне протектората России, но не других держав, а то и в полном отсутствии собственной государственности.

3 Приведенные положения зиждутся на предпосылке сохранения значимости территориально-демографического фактора в процессе политического формообразования. Если же в современных условиях этот фактор вытесняется критерием размера ВВП, уровня жизни населения, то вычисления, очевидно, необходимо произвести заново.

4 Тот самый Фибоначчи, который в Европе впервые стал обращаться с нулем как с настоящим числом (см. раздел 1.5).

5 'Революцией завышенных ожиданий' назвал начало данного процесса Д.В.Ольшанский в связи с тем, что все ждали от своих республик 'большого скачка' [239, c. 12 ].

6 Поскольку в нашей модели политические конструкции зиждутся на общественных представлениях, в том числе о 'величинах' стран, о значимых соотношениях сил, 'весов', постольку целесообразно привлечение социальных психологов. С помощью несложных опросов, сопоставления балльных оценок возможно оценить действующие соотношения. Это же свидетельствует об эффективности и активной стратегии, т.е. управлении общественным сознанием во имя создания и укрепления блоков (хотя внушенные отношения не должны существенно отличаться от реальных, в противном случае манипуляция рано или поздно провалится).

3.3 Краткая историческая справка

Рассматриваемая пропорция получила название 'золотое деление' от Леонардо да Винчи, искавшего гармонические отношения в живописи, архитектуре, строении человеческого тела, всерьез интересовавшегося и математикой. Другие названия: золотое сечение, гармоническое деление, деление в крайнем и среднем отношении [199]. Один из близких друзей Леонардо, крупнейший европейский алгебраист ХV в. итальянец Лука Пачоли,(1) написал по его настоянию книгу 'О божественной пропорции' (De divina proportione, 1497, изд. в Венеции в 1509 г.), увидев в золотом сечении божественные черты. Такая пропорция лишь одна, а единственность – высочайшее свойство Бога. В ней воплощено святое триединство. Эта пропорция не может быть выражена доступным числом, остается скрытой и тайной и самими математиками называется иррациональной (так и Бог не может быть ни определен, ни разъяснен словами). Бог никогда не изменяется и представляет всё во всем и всё в каждой своей части, так и золотое сечение для всякой непрерывной и определенной величины (независимо от того, большая она или малая) одно и то же, не может быть ни изменено, ни по иному воспринято рассудком. Бог вызвал к бытию небесную добродетель, иначе называемую пятой субстанцией, с ее помощью и четыре других простых тела (четыре стихии – землю, воду, воздух, огонь), а на их основе вызвал к бытию всякую другую вещь в природе; так и наша священная пропорция, согласно Платону в 'Тимее', дает формальное бытие самому небу, ибо ему приписывается вид тела, называемого додекаэдром, который невозможно построить без золотого сечения. Таковы аргументы Пачоли [329].

Но само золотое сечение было известно задолго до Ренессанса. В работе Пачоли изложение велось по так называемой ХIV книге 'Начал' Эвклида (на самом деле Гипсикла). В книге II 'Начал' встречается построение, равносильное уравнению (4). В книгах IV и ХIV золотое деление применяется для построения правильных пяти- и десятиугольников; в стереометрии – правильных двенадцатигранников (додекаэдров) и двадцатигранников (икосаэдров). Считают, такие геометрические процедуры были известны еще пифагорейцам,(2) далее след золотого сечения теряется, возможно, в Египте. Многомудрые греки сочли разумным возвести генезис пропорций к самим истокам вселенной: 'По Ферекиду, Зевс связал определенными пропорциями то, что прежде было хаотично' [370, c. 159].

По традиции, золотое сечение вводится в геометрии через построение правильных пятиугольников, как выпуклых, так и звездчатых (т.е. пятиконечной звезды). Придерживается этой тактики и немецкий профессор Г.Е.Тимердинг, написавший в первой четверти ХХ века книгу о золотом сечении. Он констатирует: 'У пифагорейцев ‹…› с правильным пятиугольником была связана мысль о таинственных силах и свойствах, но эти свойства обнаруживаются лишь тогда, когда рядом с обыкновенным правильным пятиугольником будет рассматриваться та звезда, которая получается при последовательном соединении через одну всех вершин обыкновенного пятиугольника, составленная диагоналями пятиугольника' [329, c. 11; см. рис. 5], – и далее отмечает: пентаграмма играла большую роль во всех магических науках. 'Во многих местностях она употреблялась народом в виде 'ведьминой стопы' (Drudenfuss), как средство защиты от злых духов, в частности, для охраны спящего от ведьм и от производимого ими кошмара' [там же]. Пентаграммой пользовался и Фауст в трагедии Гёте.

Рис. 3-5

Пятиконечная звезда, как показывает Тимердинг, буквально нашпигована пропорциями золотого сечения. Пифагореец Тимей в одноименном диалоге Платона говорит: 'Невозможно, чтобы две вещи совершенным образом соединились без третьей, так как между ними должна появиться вещь, которая скрепляла бы их. Это наилучшим образом может выполнить пропорция, ибо если три числа обладают тем свойством, что среднее так относится к меньшему, как большее к среднему, и, наоборот, меньшее так относится к среднему, как среднее к большему, то последнее и первое будет средним, а среднее – первым и последним. Таким образом, все необходимое будет тем же самым, а так как оно будет тем же самым, то оно составит целое'. Земной мир Платон строит, используя треугольники двух сортов: равнобедренные и неравнобедренные. Прекраснейшим прямоугольным треугольником он считает такой, в котором гипотенуза вдвое больше меньшего из катетов (такой прямоугольник является половиной равностороннего, основной фигуры вавилонян, в нем выступает отношение 1 : v3, отличающееся от золотого сечения примерно на 1/25, и называемое Тимердингом 'соперником золотого сечения'). С помощью треугольников Платон строит четыре правильных многогранника, ассоциируя их с четырьмя земными элементами (землей, водой, воздухом и огнем). И лишь последний из пяти существующих правильных многогранников – додекаэдр, всеми двенадцатью гранями которого служат правильные пятиугольники, претендует на символическое изображение небесного мира.

Честь открытия додекаэдра (или, как полагалось, самой Вселенной, этой квинтэссенции четырех стихий, символизируемых, соответственно, тетраэдром, октаэдром, икосаэдром и кубом) принадлежит Гиппасу, впоследствии погибшему при кораблекрушении.(3) В этой фигуре действительно запечатлено множество отношений золотого сечения, поэтому последнему отводилась главная роль в небесном мире [329, c. 53], на чем впоследствии и настаивал брат минорит Лука Пачоли.

В средние века пентаграмма подверглась демонизации(4) (как, впрочем, и многое, что почиталось божественным в античном язычестве) и нашла приют в оккультных науках. Однако Возрождение вновь выносит на свет и пентаграмму, и золотое сечение. Так, широкое хождение в тот период утверждения гуманизма обрела схема, описывающая строение человеческого тела: