множеством всех лжецов, что невозможно, так как все отъявленные лжецы состоят членами одного клуба, в то время как все лжецы не состоят членами одного клуба. В отличие от только что приведенного доказательства наше первое доказательство позволяет установить дополнительные подробности: всякий; кто утверждает, что он непризнанный рыцарь, должен быть непризнанным рыцарем, а всякий, кто утверждает, что он отъявленный лжец, должен быть неотъявленным лжецом.
2. Доказывая, что все лжецы не состоят членами одного клуба, мы использовали только условие G. Условия E1, E2 и C нам не понадобились. Значит, из одного лишь условия G следует, что все лжецы не состоят членами одного клуба. Более того, условие G
Выберем любой клуб C. Так как все лжецы не состоят членами одного клуба, то C не множество всех лжецов. Следовательно, либо членом клуба C состоит какой-нибудь рыцарь, либо какой-нибудь лжец не состоит членом клуба C. Если какой-нибудь рыцарь состоит членом клуба C, то он заведомо утверждает, что состоит членом этого клуба (так как он всегда говорит только правду). Если бы какой-нибудь лжец не состоял членом клуба C, то он утверждал бы, что состоит членом этого клуба (так как он лжет). Следовательно, и в том и в другом случае
265.
Рассмотрим теперь любой остров, населенный рыцарями и лжецами, на котором имеются клубы. Предполагается, что, кроме рыцарей и лжецов, на острове нет других обитателей. Назовем остров
Как-то раз инспектор Крэг посетил такой остров, населенный рыцарями и лжецами, состоящими членами клубов. Крэгу (человеку с необычайно широким кругом интересов, теоретические познания которого не уступают его практической сметке) захотелось узнать, находится ли он на гёделевом острове. Ему удалось собрать следующие сведения. Каждый клуб носит имя одного из островитян, и у каждого островитянина есть клуб, названный его именем. Островитянин не обязательно состоит членом клуба, носящего его имя. Островитянина, который состоит членом клуба, названного в его честь, называют
Крэг не знал, находится ли он на гёделевом острове до тех пор, пока не обнаружил, что культурная жизнь на острове удовлетворяет некоторому условию, которое мы назовем условием H.
Из условия H Крэг вывел заключение относительно того, гёделев ли тот остров, на котором он находился. К какому заключению пришел инспектор Крэг?
Предположим, что Джон не состоит членом клуба D. Тогда у Джона есть друг (назовем его Джим), не состоящий членом клуба C и подтверждающий, что Джон номинабелен. Поскольку Джон не состоит членом клуба D, то Джон в действительности неноминабелен. Значит, Джим лжец. Итак, Джим лжец и не состоит членом клуба C, поэтому Джим солгал бы и утверждал бы, что состоит членом клуба C.
Следовательно, независимо от того, состоит или не состоит Джон членом клуба D, существует островитянин, утверждающий, что он состоит членом клуба C.
Если вы хотите предложить одному из ваших друзей действительно трудную задачу, задайте ему задачу 264 для острова, удовлетворяющего условиям E1, E2, C и H, (об условии G пока умолчите). Выведет ли ваш приятель самостоятельно условие G?
Б. Дважды гёделевы острова
Задачи этого раздела представляют более специальный интерес, и ознакомление с ними можно отложить до прочтения раздела B.
Под
Насколько мне известно, из условия CG не следует условие G, а из условия G не следует условие CG. Оба условия выглядят совершенно независимыми, поэтому (насколько мне известно) дважды гёделевы острова не обязательно должны быть гёделевыми островами.
Изучение дважды гёделевых островов — мой «конек».
Задачи, связанные с ними, имеют такое же отношение к парадоксу Журдэна с двусторонней карточкой (см. задачу 254 в предыдущей главе), какое задачи о гёделевых островах имеют к парадоксу лжецов.
266.
Однажды мне посчастливилось открыть дважды гёделев остров S, для которого выполняются условия E1, E2 и C острова G.
а) Можно ли определить, найдется ли на острове S хоть один непризнанный рыцарь? Что можно сказать о неотъявленном лжеце?
б) Можно ли установить, состоят ли рыцари острова S членами одного клуба? A лжецы?
A: B — лжец.
B: A — рыцарь.
Как показано в решении задачи 259 в предыдущей главе, это невозможно. Следовательно, все рыцари не могут состоять членами одного клуба, и все лжецы не могут состоять членами одного клуба.
Что касается первой половины задачи, то ее можно решить двумя способами. Первый из них проще