предложение, не нарушающее правил обычной грамматики, является осмысленным – оно должно удовлетворять также правилам особой, логической грамматики.
Рассел построил теорию логических типов, своеобразную логическую грамматику, задачей которой было устранение всех известных антиномий. В дальнейшем эта теория была существенно упрощена и получила название простой теории типов.
Основная идея теории типов – выделение разных в логическом отношении типов предметов, введение своеобразной иерархии, или лестницы, рассматриваемых объектов. К низшему, или нулевому, типу относятся индивидуальные объекты, не являющиеся множествами. К первому типу относятся множества объектов нулевого типа, т.е. индивидов; ко второму – множества множеств индивидов и т.д. Иными словами, проводится различие между предметами, свойствами предметов, свойствами свойств предметов и т.д. При этом вводятся определённые ограничения на конструирование предложений. Свойства можно приписывать предметам, свойства свойств – свойствам и т.д. Но нельзя осмысленно утверждать, что свойства свойств имеются у предметов.
Возьмём серию предложений:
Этот дом – красный.
Красное – это цвет.
Цвет – это оптическое явление.
В этих предложениях выражение «этот дом» обозначает определённый предмет, слово «красный» указывает на свойство, присущее данному предмету, «являться цветом» – на свойство этого свойства («быть красным») и «быть оптическим явлением» – указывает на свойство свойства «быть цветом», принадлежащего свойству «быть красным». Здесь мы имеем дело не только с предметами и их свойствами, но и со свойствами свойств («свойство быть красным имеет свойство быть цветом»), и даже со свойствами свойств свойств.
Все три предложения из приведённой серии являются, конечно, осмысленными. Они построены в соответствии с требованиями теории типов. А скажем, предложение «Этот дом есть цвет» нарушает данные требования. Оно приписывает предмету ту характеристику, которая может принадлежать только свойствам, но не предметам. Аналогичное нарушение содержится и в предложении «Этот дом является оптическим явлением». Оба эти предложения должны быть отнесены к бессмысленным.
Простая теория типов устраняет парадокс Рассела. Однако для устранения парадоксов «Лжеца» и Берри простое разделение рассматриваемых объектов на типы уже недостаточно. Необходимо вводить дополнительно некоторое упорядочение внутри самих типов.
Исключение парадоксов может быть достигнуто также на пути отказа от использования слишком больших множеств, подобных множеству всех множеств. Этот путь был предложен немецким математиком Е.Цермело, связавшим появление парадоксов с неограниченным конструированием множеств. Допустимые множества были определены им некоторым списком аксиом, сформулированных так, чтобы из них не выводились известные парадоксы. Вместе с тем эти аксиомы были достаточно сильны для вывода из них обычных рассуждений классической математики, но без парадоксов.
Ни эти два, ни другие предлагавшиеся пути устранения парадоксов не являются общепризнанными. Нет единого убеждения, что какая-то из предложенных теорий разрешает логические парадоксы, а не просто отбрасывает их без глубокого объяснения. Проблема объяснения парадоксов по-прежнему открыта и по- прежнему важна.
Будущее парадоксов
У Г.Фреге, величайшего логика прошлого века, был, к сожалению, очень скверный характер. Кроме того, он был безоговорочен и даже жесток к своей критике современников.
Возможно, поэтому его вклад в логику и обоснование математики долго не получал признания. И вот когда известность начала приходить к нему, молодой английский логик Б.Рассел написал ему, что в системе, опубликованной в первом томе его книги «Основные законы арифметики», возникает противоречие. Второй том этой книги был уже в печати, и Фреге смог лишь добавить к нему специальное приложение, в котором изложил это противоречие (позднее названное «парадоксом Рассела») и признал, что он не способен его устранить.
Однако последствия этого признания были для Фреге трагическими. Он испытал сильнейшее потрясение. И хотя ему тогда было всего 55 лет, он не опубликовал больше ни одной значительной работы по логике, хотя прожил ещё более двадцати лет. Он не откликнулся даже на оживлённую дискуссию, вызванную парадоксом Рассела, и никак не прореагировал на многочисленные предлагавшиеся решения этого парадокса.
Впечатление, произведённое на математиков и логиков только что открытыми парадоксами, хорошо выразил Д.Гильберт: «…Состояние, в котором мы находимся сейчас в отношении парадоксов, на продолжительное время невыносимо. Подумайте: в математике – этом образце достоверности и истинности – образование понятий и ход умозаключений, как их всякий изучает, преподаёт и применяет, приводит к нелепости. Где же искать надёжность и истинность, если даже само математическое мышление даёт осечку?»
Фреге был типичным представителем логики конца XIX в., свободной от каких бы то ни было парадоксов, логики, уверенной в своих возможностях и претендующей на то, чтобы быть критерием строгости даже для математики. Парадоксы показали, что абсолютная строгость, достигнутая якобы логикой, была не более чем иллюзией. Они бесспорно показали, что логика – в том интуитивном виде, какой она имела на рубеже веков, – нуждается в глубоком пересмотре.
Прошло около века с тех пор, как началось оживлённое обсуждение парадоксов. Предпринятая ревизия логики так и не привела, однако, к недвусмысленному их разрешению.
И вместе с тем такое состояние вряд ли кого волнует сегодня. С течением времени отношение к парадоксам стало более спокойным и даже более терпимым, чем в момент их обнаружения. Дело не только в том, что парадоксы сделались чем-то привычным. И, разумеется, не в том, что с ними смирились. Они всё ещё остаются в центре внимания логиков, поиски их решений активно продолжаются. Ситуация изменилась прежде всего потому, что парадоксы оказались, так сказать, локализованными. Они обрели своё определённое, хотя и неспокойное место в широком спектре логических исследований. Стало ясно, что абсолютная строгость, какой она рисовалась в конце прошлого века и даже иногда в начале нынешнего, – это в принципе недостижимый идеал.
Было осознано также, что нет одной-единственной, стоящей особняком проблемы парадоксов. Проблемы, связанные с ними, относятся к разным типам и затрагивают, в сущности, все основные разделы логики. Обнаружение парадокса заставляет глубже проанализировать наши логические интуиции и заняться систематической переработкой основ науки логики. При этом стремление избежать парадоксов не является ни единственной, ни даже, пожалуй, главной задачей. Они являются хотя и важным, но только поводом для размышления над центральными темами логики. Продолжая сравнение парадоксов с особо отчётливыми симптомами болезни, можно сказать, что стремление немедленно исключить парадоксы было бы подобно желанию снять такие симптомы, не особенно заботясь о самой болезни. Требуется не просто разрешение парадоксов, необходимо их объяснение, углубляющее наши представления о логических закономерностях мышления.
7. Несколько парадоксов, или то, что похоже на них
И в заключение этого короткого рассмотрения логических парадоксов – несколько задач, размышление над которыми будет полезно для читателя. Нужно решить, действительно ли приводимые утверждения и рассуждения являются логическими парадоксами или только кажутся ими. Для этого следует, очевидно, как-то перестроить исходный материал и попытаться вывести из него противоречие: и утверждение и отрицание одного и того же об одном и том же. Если обнаруживается парадокс, можно подумать над тем, с чем связано его возникновение и как его устранить. Можно даже попытаться придумать свой собственный парадокс такого же типа, т.е. строящийся по той же схеме, но на основе других понятий.
