§ 90. Шар. Его объем и поверхность
Шаром называется тело, которое можно представить себе образовавшимся от вращения полукруга около его диаметра (черт. 241). Все точки поверхности шара одинаково удалены от одной точки, называемой ц е н т р о м шара. Прямая, соединяющая центр шара с какой-нибудь точкой его поверхности, называется радиусом шара. Всякая прямая, соединяющая две точки его поверхности и проходящая через центр, называется д и а м е т р о м шара. Чтобы установить правило вычисления объема шара вообразим, что около полушара (черт. 242) описан цилиндр ABCD. Кроме того, вообразим себе конус, вершина которого в центре шара, а основание – совпадает с верхним основанием цилиндра.
Проведем теперь какую-нибудь плоскость, пересекающую все три тела параллельно основаниям цилиндра; эта плоскость MN(черт. 243) рассечет каждое из трех тел по кругу. Радиус круга, по которому рассечется цилиндр, есть PZ, полушар – PS, а конус – PK. Проведя радиус OSшара, имеем по теореме Пифагора [OS]2= [OP]2+ [PS]2.
Обозначим радиус основания цилиндра через R(он равен радиусу шара); радиус сечения полушара PSчерез h, радиус сечения конуса – через k. Тогда OS= OR= R; OP= PK= k(потому что противолежащие углы = 45°); PS= h. Написанное выше представим в виде
R2= k2+ h2.
Умножив все члены равенства на, имеем
R2= k2+ h2.
Равенство это означает, что площадь сечения нашего цилиндра [R2] равна площади сечения конуса [k2], сложенной с площадью сечения полушара [h2], лежащих в той же плоскости. Это справедливо для любой плоскости, пересекающей наши три тела параллельно основаниям цилиндра.
Представим себе теперь, что мы провели чрезвычайно много таких плоскостей в незначительном расстоянии Н друг от друга. Назовем эти плоскости номерами: № 1, № 2, № 3 и т. д. Они разрежут наши три тела на множество весьма тонких слоев, которые можно принять за цилиндры с высотою H. Для плоскости № 1, № 2, № 3 и т. д. мы будем иметь следующие объемы лежащих на них слоев:
№ 1. . . . . ?R2H = ?k12H + ?h12H
№ 2. . . . . ?R2H = ?k22H + ?h22H
№ 3. . . . . ?R2H = ?k32H + ?h32H
№ 4. . . . . . . . . . . . . . .
Сложив эти равенства почленно, мы получим в сумме первого столбца объем цилиндра Vц; в сумме второго столбца – все слои конуса,[13] т. е. его объем Vк, а в сумме третьего столбца – все слои полушара, т. е. его объем Vпш. Короче говоря, мы устанавливаем, что Vц = Vк + Vпш.
Так как объем цилиндра vц= ?R2? R= ?R3, а объем конуса 1/3?R2? R = 1/3?R3, то полученное сейчас равенство можно представить в виде ?R3= 1/3?R3+ Vпш, откуда объем полушара V = ?R3– 1/3?R3 =2/3?R3, а объем полного шара V = 4/3?R3.
