У меня нет патентованного чугунного носа, поэтому я не буду подвергать смертельной опасности этот важный орган, влезая в непривычную для себя игру. Бронированные ребра и мягкие прокладки на голенях не были популярны в мои студенческие годы. Мы обычно играли в футбол ногами, как то подразумевает само название игры, и никогда не пытались убить или искалечить игроков команды соперников.
Однако моя головоломка не имеет ничего общего со всеми этими бросками, ударами и «подковыванием» противника. Она просто навеяна воспоминаниями о тех днях, когда деревенским мальчишкой я любил гонять по зеленым лужайкам старомодный мягкий резиновый мяч.
Мы жили тогда в провинции и обычно заказывали мяч по почте, причем каталог спортивного магазина рекомендовал в соответствии с размерами мяча указывать точно требуемое число дюймов. Именно с этим и связана наша задача.
Нам нужно было указать требуемое число дюймов, но мы не знали, идет ли речь о площади резиновой оболочки или же об объеме воздуха, заключенного внутри мяча. Поэтому мы решили заказать мяч, у которого число квадратных дюймов, выражающее площадь поверхности, равнялось числу кубических дюймов, выражающему объем!
Сумеют ли наши любители головоломок назвать диаметр заказанного мяча?
36
Недавно я отправился в Лейквуд, чтобы посетить аукцион, где продавался участок земли, однако не совершил никаких покупок из-за одной необычной задачи, возникшей по ходу дела.
На афише, которую приклеивают к забору, вы видите план участка площадью в 560 акров, в него входит и треугольное озеро. Три квадратных поля на плане дают в совокупности 560 акров без озера, но, поскольку озеро включалось в распродажу, я, как и другие потенциальные покупатели, хотел знать, действительно ли площадь озера была вычтена из площади всего земельного участка.
Аукционер гарантировал «приблизительно» 560 акров. Это не удовлетворило покупателей, так что мы удалились, предоставив аукционеру возможность рассказывать свои басни кузнечикам и выкрикивать цены толстым жабам на озере, которое на поверку оказалось просто болотом.
Вопрос, который я хотел бы теперь задать любителям головоломок, состоит в том, чтобы определить, сколько акров должно содержаться в озере, окруженном квадратными полями площадью соответственно 370, 116 и 74 акра. Эта задача представляет особый интерес для тех, у кого есть математические наклонности, поскольку в ней содержится положительный и вполне определенный ответ. При обычных подходах ответ сводится к одной из неограниченно продолжающихся, но никогда не кончающихся десятичных дробей
37
Когда мадам Пифагор спросила своего супруга, как лучше сделать квадратным остаток клетчатой афинской циновки, показанный на рисунке, знаменитый философ дал следующие пояснения.
Пунктирная линия на циновке равна, очевидно, гипотенузе прямоугольного треугольника, катеты которого совпадают со сторонами двух квадратов, которые в совокупности и образуют весь остаток. Согласно великой теореме Пифагора, эта прямая должна быть стороной квадрата, площадь которого равна сумме площадей двух упомянутых выше квадратов. (Теорема проиллюстрирована в правом верхнем углу рисунка.) Определив эту длину, мы можем разрезать остаток циновки, как показано, двумя сплошными линиями и сложить затем из трех полученных частей нужный квадрат. Этим способом можно воспользоваться, чтобы сделать правильный квадрат из любых квадратных кусков. Послушай, Фаг, – сказала мадам Пифагор, ибо дома она всегда называла мужа этим уменьшительным именем. – Я боюсь, что если циновку разрезать наклонно, то она разлохматится. А мне бы хотелось обойтись без этих неуклюжих, словно гиппопотам, прямых. Правда, можно было бы поступить и вот так: вырезать длинный кусок А, поставить его вертикально, а затем сдвинуть на одну ступеньку вниз часть С; при этом получится хороший правильный квадрат 13 х 13. Но этот способ, Фаг, мне не по душе, – продолжала она. – Видишь ли, рисунок на этом длинном куске пойдет не совсем правильно. Не смог бы ты найти такой способ, чтобы не пришлось поворачивать клеточки?
В этом и состоит головоломка мадам Пифагор.
[Чтобы задача стала яснее, обратите внимание на то, что штриховка черных клеточек идет, так сказать, с юго-запада на северо-восток. После того как мы поставим часть А вертикально, штриховка на ее черных клеточках пойдет уже с северо-запада на юго-восток. Мадам Пифагор хотела бы знать решение из трех частей, в котором не нарушились бы ни взаимное расположение черных и белых клеточек, ни наклон штриховки. –
38
Один старый денежный мешок сделал достоянием гласности, что он даст в приданое за каждой из своих дочерей столько золота, сколько весит она сама. Так что в мгновение ока у каждой из девиц появился подходящий поклонник. Все дочери вышли замуж в один и тот же день, а прежде, чем взвеситься, отведали очень тяжелого свадебного торта, отчего радостно забились сердца их суженых.
Все вместе невесты весили 396 фунтов, однако Нелли весила на 10 фунтов больше, чем Китти, а Минни весила на 10 фунтов больше, чем Нелли. Один из женихов, Джон Браун, весил ровно столько же, сколько и его невеста, тогда как Вильям Джонс весил в полтора, а Чарльз Робинсон – в два раза больше своих невест. Вместе женихи и невесты весили 1000 фунтов. Назовите имя и фамилию каждой из девушек, после того как они вышли замуж.
39
Не лишне знать, что цена бриллиантов возрастает согласно квадрату, а цена рубинов – согласно кубу их веса. Так, если бриллиант в один карат стоит 100 долларов, то камешек того же качества в два карата будет стоить уже 400 долларов, а бриллиант той же чистоты весом в три карата будет стоить 900 долларов. С другой стороны, если хороший восточный рубин весом в один карат стоит 200 долларов, то такой же камень в два карата будет стоить уже 1600 долларов.
Один известный торговец, который вел дела с бразильскими алмазными копями, показал мне пару бриллиантовых сережек, которые он обменял на два бриллианта разных размеров на условиях, приведенных выше. Не могли бы вы угадать размеры этих камней разной величины, которые он выменял на пару одинаковых сережек? Разумеется, существует много ответов, но вам предлагается найти наименьшие возможные размеры этих двух камней разной величины, причем в ответе не должны участвовать дробные доли карата.
40
Те, кто изучает геометрию, найдут здесь интересную элементарную задачу, которую лучше всего решать экспериментальным путем, хотя правильный ответ можно найти и теоретически, пользуясь неким приемом, весьма напоминающим знаменитое седьмое предложение Евклида.
У столяра была доска длиной в 4 и шириной в 2 фута со срезанным углом. Эту доску требовалось разрезать на минимальное число частей без всяких отходов так, чтобы из них можно было сложить правильную квадратную крышку стола, показанного на рисунке.
В данном конкретном случае недостающий кусок доски срезан под углом 15°, но когда вы решите головоломку, то обнаружите, что способ ее решения годится как в случае большей, так и меньшей величины угла.
41
