Приглашение в теорию чисел

Недавно этим способом в Йельском университете на ЭВМ IBM 7094 были проверены все числа до одного миллиона. В результате была получена коллекция из 42 пар дружественных чисел; некоторые из них оказались ранее неизвестными. Все пары дружественных чисел до 100 000 приведены в табл. 2. При помощи этого метода, как нетрудно видеть, одновременно «вылавливаются» и совершенные числа. Если возникает желание продолжать поиски дальше, то, конечно, это можно сделать, но придется затратить большое количество машинного времени.

Таблица 2

Дружественные числа до 100 000

В действительности мы очень мало знаем о свойствах пар дружественных чисел, однако, можно на основе наших таблиц высказать несколько предположений. Например, отношение одного из них к другому, по-видимому, должно все больше и больше приближаться к 1 по мере того, как они увеличиваются. Из таблицы видно, что эти числа бывают либо оба четными, либо оба нечетными, но не было найдено случая, когда одно число четно, а другое нечетно, хотя поиски дружественных чисел такого вида были проведены среди всех чисел n ≤ 1 3 000 000 000.

ГЛАВА 4 НАИБОЛЬШИЙ ОБЩИЙ ДЕЛИТЕЛЬ И НАИМЕНЬШЕЕ ОБЩЕЕ КРАТНОЕ

§ 1. Наибольший общий делитель

Откровенно говоря, мы надеемся, что многое в этой главе окажется для вас знакомым.

В ней рассматриваются понятия, с которыми вы познакомились в школе, как только научились обращаться с обыкновенными дробями. Единственным оправданием включения этого материала является желание освежить его в вашей памяти. Мы также надеемся, что приведенное изложение материала явится более систематическим, чем то, к которому вы привыкли.

Возьмем некоторую дробь а/b, отношение двух целых положительных чисел а и b. Обычно мы стараемся привести ее к простейшему виду, т. е. мы стараемся сократить множители, общие для а и b.

Эта операция не изменяет значения дроби, например,

24/36 = 8/12 = 2/3.

Общим делителем двух натуральных чисел а и b называется натуральное число d, которое является множителем как числа а, так и числа b, т. е.

a = d • а₁, b = d • b₁.

Если число d — общий делитель чисел а и b, то он также делит числа а + b и а — b, так как

а + b = а₁d + b₁d = (а₁ + b₁) d,

а — b = а₁d — b₁d = (а₁ — b₁) d.

Когда известны разложения чисел а и b на простые множители, нетрудно найти все их общие делители. Выпишем эти два разложения на простые множители:

а = р₁^α₁ • … • р_r^α_r, b = р₁^β₁ • … • р_r^β_r. (4.1.1)

Здесь мы договариваемся записывать разложения чисел а и b так, как если бы они имели одинаковые простые множители

р₁, p₂…, р_r

но с условием, что мы допускаем возможность использования показателя степени, равного 0. Например, если p₁ делит число а, но не делит число b, мы полагаем, что в формуле (4.1.1) β₁ = 0. Таким образом, если

а = 140, b = 110, (4.1.2)

то

а = 2² • 5¹ • 7¹ • 11⁰, b = 2¹ • 5¹ • 7⁰ • 11¹. (4.1.3)

Из формулы (4.1.1) следует, что любой делитель d числа а может иметь простыми множителями только числа p_i, которые встречаются в числе а и каждое из них содержится в степени δ_i, не превосходящей соответствующей степени α_i в числе а. Аналогичные условия имеют место и для любого делителя d числа b. Поэтому общий делитель d чисел а и b может иметь в качестве простых множителей только числа p_i, которые встречаются одновременно в числах а и b, а степень δ_i числа p_i в d не может превосходить меньшей из двух степеней: α_i и β_i.

Из этого обсуждения мы можем сделать вывод: любые два натуральных числа а и b имеют наибольший общий делитель d₀. Простыми множителями p_i числа d₀ являются те, которые одновременно встречаются в числах а и b, а степень числа р_i в числе d₀ есть меньшее из двух чисел α_i и β_i.

Пример. Возьмем два числа, указанных в (4.1.2), имеющие разложения на простые множители (4.1.3); очевидно, что