Приглашение в теорию чисел

Число 561 является замечательным, так как соответствующее сравнение (8.4.1) выполняется для каждого целого числа а, взаимно простого с числом N. Мы называем такие особые числа числами, имеющими свойство Ферма. По таким числам в последнее время было проведено огромное количество исследований.

РЕШЕНИЯ ИЗБРАННЫХ ЗАДАЧ

Система задач 1.3.

Ответы для обеих задач можно найти в табл. 3 на стр. 61.

Система задач 1.4.

1. Предположим, что верно соотношение

T_n-1 = 1/2 (n-1) n.

Можно проверить его для n= 2, 3, 4. Из рис. 4 видно, что Т_n получается из T_{n- 1} прибавлением числа n, поэтому

Т_n = Т_n-1 + n = 1/2 n (n + 1).

2. Из рис. 5 видно, что для того, чтобы получить Р_n, нужно прибавить к Р_n-1 число

1 +3 (n — 1) = Зn — 2.

Если мы уже знаем, что

P_n-1 = 1/2 (3 (n — 1) ² — (n — 1))

(это справедливо для п = 2, 3, 4, в соответствии с последовательностью (1.4.3)), то отсюда следует, что

Р_n = P_n-1 + 3n — 2 = 1/2 (Зn² — n).

3. Мы можем получить n-е k- угольное число из (n — 1) — го, прибавив к нему

(k — 2) (n — 1) + 1

и выводя формулу таким же способом, как и в задаче 2. Задачи 2 и 3 могут быть решены иначе: делением точек на треугольники, как указано на рис. 5, и использованием формулы для Т_n. Проведите это доказательство во всех деталях.

Система задач 1.5.

1. Например, квадрат

16  3  2 13
 9  6  7 12
 5 10 11  8
 4 15 14  1

полученный перестановкой второй и третьей строк квадрата Дюрера, также является магическим. Менее тривиальным является квадрат

16  4  1 13
 9  5  8 12
 6 10 11  7
 3 15 14  2

2. Так как числа в квадрате 4 × 4 не превышают 16, возможны лишь два года, 1515 и 1516. Первый, очевидно, исключается, во втором случае построить квадрат оказывается невозможным.

Система задач 2.1.

2. 1979.

3. Числа от 114 до 126 все составные.

Система задач 2.3.

1. n = 3, 5, 15, 17,51,85

2. Имеем

360°/51 = 6 360°/17 — 360°/3.

3. Количество различных произведений чисел Ферма (от одного до пяти чисел в одном произведении) равно

5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 31.

Таково количество чисел, для которых могут быть построены многоугольники. Наибольшим значением является

n = 3 • 5 • 17 • 257 • 65537 = 4 294 967 295.

Система задач 2.4.

1. В каждой из первых десяти сотен имеется соответственно 24, 20, 16, 16, 17, 14, 16, 14, 15, 14 простых чисел.

2. Существует 11 таких простых чисел.

Система задач 3.1.

1. 120 = 2³ • 3 • 5; 365 = 5 • 73; 1970 = 2 • 5 • 197.

3. 360 = 2 • 2 • 90 = 2 • 6 • 30 = 2 • 10 • 18 = 6 • 6 • 10.

Система задач 3.2.

1. Простое число имеет два делителя; р^α — степень простого числа, имеет а + 1 делитель.

2. τ(60) = 12, τ(366) = 8, τ(1970) = 8.

3. Наибольшим количеством делителей у числа, не превосходящего 100, является 12. Такое количество делителей имеют числа 72, 84, 90, 96.

Система задач 3 3.

1. 24; 48; 60; 10080.

2. 192; 180; 45360.

3. 24 и 36.

4. Пусть число делителей равно rs, где r и s — простые числа. Тогда

n = p^rs-1 или n = p^r-1 q^s-1,