Кибернетика, Логика, Искусство

быть логически доказано, дискурсивно опосредствовано), до П.Флоренского (который занимался также математической логикой), утверждавшего: 'Истина есть интуиция. Истина есть дискурсия. Или проще: истина есть интуиция-дискурсия' [14, с.42-43].

Глава 4. Гносеологическое отступление II.

Сводимо ли интуитивное к дискурсивному?

Если не грешить против разума, то вообще невозможно придти к чему-либо.

Эйнштейн [15]

Несомненно, что, вычленяя из сложного процесса умозаключений два, пусть даже основных, элемента, мы рискуем чрезмерно упростить ситуацию. В действительности, например, интуитивное обобщающее суждение само уже принимает во внимание логическую, дискурсивную сторону, не может с нею не считаться. 'Обратные связи' в умозаключении, вообще говоря, очень значительны, взаимно переплетаются и отнюдь не всегда могут быть отброшены так, чтобы рассуждение удалось выстроить в одну линию.

И все же целесообразно четко разделять эти два фундаментальных и в значительной мере альтернативных способа постижения истины. Сам процесс диалектического познания мира - от опыта к абстракции и затем снова к опыту, к практике - естественно сопоставляется с последовательностью: от интуитивного обобщения опыта к абстракции, а затем от абстракции через логическое умозаключение к практическому приложению и проверке практикой (снова интуитивное умозаключение!).

Математика в интересующем нас аспекте представляет особый случай, особенно удобную 'модель', потому что в ней интуитивный и дискурсивный элементы всегда четко разграничены. Во всякой ограниченной части математики сначала четко формулируются определения и аксиомы, после чего следует строго логическое доказательство на этой основе новых положений (теорем и т.п.). Особыми важными вопросами являются проблемы внутренней согласованности (непротиворечивости) определений и аксиом и достаточной их полноты для решения поставленных задач (разрешимость). Этими проблемами занимается специальный бурно развившийся в ХХ веке раздел математики - математическая логика.

Пока не ставится вопрос о соответствии между возникающей таким образом математической системой и реальными объектами физического мира, пока математика остается замкнутой в себе 'игрой ума', интуиция, которая здесь используется, есть исключительно интуиция-догадка. Интуитивное утверждение ждет своего логического доказательства, которое в некоторых случаях отодвигается, как уже говорилось, надолго.

Положение несколько меняется уже в теоретической физике. Во-первых, сразу встает вопрос о соответствии математических образов физическим объектам (как связаны с физическими объектами и измерительными возможностями понятия длины или одновременности событий, фигурирующие в физике? Какая геометрия верна - евклидова или какая-либо из неевклидовых? и т.д.), разрешаемый только на основании опыта, а значит, с использованием внелогического суждения о достаточности опытной проверки и, следовательно, существенно интуитивно. Во-вторых, и это для нас еще более важно, в теоретической физике интуитивные элементы иногда вплетаются по ходу логического доказательства, прерывая его. Это и отличает теоретическую физику от математической физики. Здесь таится, конечно, огромная опасность, поскольку каждое из интуитивных суждений может оказаться не вполне точным или недостаточно общим. Ошибка от отдельных этапов может накапливаться и привести в конце рассуждения к совершенно ложному выводу. Поэтому требуется особая способность интеллекта к извлечению правильных интуитивных умозаключений.

Еще более сложен процесс в других науках. В гуманитарных науках (например, в филологии, искусствоведении) интуитивные умозаключения, основанные на обобщающей оценке огромного разбросанного фактического материала, являются важнейшими элементами, встречающимися на всем протяжении цепи рассуждений. Поэтому для читателя, не знакомого с фактическим материалом, на котором основывается ученый при каждом из этих интуитивных умозаключений, ход рассуждений кажется совершенно необоснованным, внутренне несвязанным. В этом коренится недоверие, а часто и пренебрежение, которое встречают гуманитарные исследования у представителей точных наук. Между тем оценить доказательность всей цепи этих рассуждений может только тот, кто знаком с фактическим материалом и сам способен сделать интуитивное умозаключение в каждом звене на основании предлагаемых исследователем указаний. Поэтому в области гуманитарных наук для постороннего лица псевдонаука может выглядеть столь же убедительно (или, точнее, столь же неубедительно), как подлинная наука. С другой стороны, псевдонаучная деятельность, базирующаяся на неправильных интуитивных заключениях, здесь особенно облегчена: сам такой псевдоученый (даже субъективно вполне добросовестный) никогда не будет способен увидеть неправомерность, ошибочность своих интуитивных суждений и будет убежден в собственной значимости.

В математике последних ста-полутораста лет были сделаны героические усилия с целью очистить научную систему от излишних интуитивных элементов и свести их к ограниченному, раз и навсегда установленному набору таких элементов либо (были и такие попытки) вообще избавиться от них. Как мы уже говорили, математика для исследования подобных вопросов особенно удобна, поскольку здесь интуитивные элементы четко отделены от дискурсивных. Действительно, удалось показать, что многие аксиомы (например, в геометрии Евклида) излишни, число интуитивно постигаемых положений может быть существенно уменьшено. Однако, если речь идет о математике, претендующей на связь с внешним миром, полностью избавиться от них невозможно. Более того, невозможно даже раз навсегда зафиксировать некоторое конечное число аксиом с тем, чтобы после этого уже строить все остальное здание науки чисто логически. Такая формализация математики в целом, превращение ее в то, что называется дедуктивной теорией, оказывается, невозможна, и невозможность этого установили сами математики. Геделем для широкого класса математических систем (типа арифметики) быта в 1934 г. доказана строгая теорема, которую мы для наших целей можем грубо сформулировать так: какой бы набор аксиом, определений, правил ни был вначале задан, всегда в процессе развития рассуждений, в процессе развития математики мы встретимся с высказыванием, в отношении которого (если ограничиваться сформулированной уже аксиоматической основой) нельзя будет утверждать, ни что оно ложно, ни что оно истинно. Чтобы двинуться дальше, придется высказать то или иное новое аксиоматическое утверждение, не вытекающее ниоткуда, т.е. включить новый внелогический элемент. Сделав тот или иной выбор, мы получим новую математическую систему (если, разумеется, данный выбор не делает новую систему аксиом и определений противоречивой). Какая из этих систем может быть наполнена конкретным содержанием, например физическим (т. е. какая из них правильно описывает реальные свойства физического мира), - дело опыта, а следовательно, и интуитивного суждения (о доказательности опыта). Но если мы и перейдем к новому, пополненному набору аксиом и определений, все равно впоследствии история повторится. В процессе построения математики мы неограниченное число раз будем оказываться в таком положении, что потребуется принимать все новые и новые аксиомы, т.е. высказывать те или иные 'ниоткуда не вытекающие' внелогические утверждения, а решение вопроса о том, какие именно утверждения соответствуют свойствам физического мира, потребует интуитивных суждений. Эта великая теорема, конечно, выдающееся достижение математической логики [10]. Надежда на доведение математической логики до такого совершенства, при котором она сумела бы охватить математику единой формальной системой, оказалась опровергнутой. Математику нельзя превратить в единую дедуктивную теорию.

Однако математика строится так, что в ней существуют огромные логические куски, не прерываемые интуитивным элементом. Здесь она полностью сохраняет дедуктивную структуру, и это едва ли не важнейшая ее черта. Часто бывает, что математик всю жизнь успешно занимается своей наукой, исходя из