Если бы мы пожелали выразить объем шара через диаметр, следовало бы только в этой формуле заменить
Зная формулу для вычисления объема шара, можно вывести правило вычисления его поверхности.
Для этого вообразим, что шар составлен из большого числа весьма узких пирамид, сходящихся вершинами в центре шара.
Объем одной такой пирамиды равен 1/3 площади ее основания, умноженной на ее высоту. Так как эти пирамиды чрезвычайно узки (мы можем представить их себе сколь угодно узкими), то за площадь
Сложив объемы всех этих пирамид и вынеси за скобку 1/3 R, получим, что объем
Но то, что в скобках, есть сумма всех участков шаровой поверхности, т. е. полная поверхность
Мы узнали, следовательно, что
о б ъ е м ш а р а р а в е н п р о и з в е д е н и ю т р е т и е г о р а д и у с а н а п о в е р х н о с т ь.
Отсюда выводим, что поверхность шара
А так как мы уже узнали раньше, что
Другими словами: п о в е р х н о с т ь ш а р а р а в н а у ч е т в е р е н н о й п л о щ а д и к р у г а т о г о ж е р а д и у с а.
Повторительные вопросы
Какое тело называется шаром? – Что называется центром шара, радиусом, диаметром? – Как вычислить поверхность и объем шара, если известен его радиус? – Если известен его диаметр? – Как высказать эти соотношения словесно?
Применения
123. Сколько весит оболочка воздушного шара диаметром 15 метров? Кв. м. оболочки весит 300 граммов.
Р е ш е н и е. Поверхность этого шара = 4 ? 1/4 ? ? ? 152 = 710 кв. м, а следрвательно, вес 210 кг.
124. Сколько свинцовых дробинок в 3 мм диаметром идет на 1 кг?
Р е ш е н и е. 1 кг свинца занимает объем 1000/11,3= 88,5 куб. см. Объем одной дробинки = 1/6 ? ? ? 0,33= 0,014 куб. см. Следовательно, на 1 кг идет 88,5/0,014 = 6300 дробинок указанного диаметра.
125. Диаметр Марса вдвое меньше земного. Во сколько раз поверхность и этой планеты меньше, чем Земли?
Р е ш е н и е. Поверхности шаров относятся как квадраты диаметров, а объемы, – как кубы диаметров. Поэтому поверхность Марса меньше земной в 4 раза, а объем меньше земного в 8 раз.
126. «При обыкновенном дожде вес капель не превышает 0,065 грамма. Визнер на острове Яве во время сильнейшего дождя определил средний вес капель в 0,16 грамма» (К л о с со в с к и й, «Основы метеорологии»). – Определить соответствующие этим данным поперечники дождевых капель, считая их форму шарообразною.
Р е ш е н и е. 0,065 грамма воды занимают 0,065 куб. сантиметра или 65 куб. миллиметров. Диаметр шара такого объема получаем из уравнения
1/6 ? ? ? x3=65, где
Итак, крупная дождевая капля имеет в ширину полсантиметра. Диаметр самых больших измеренных капель (вес 0,16 грамма) равен 6,7 миллиметра.
127. Яблоко при печении сморщивается. На что это указывает?