Путеводитель для влюбленных в математику

влево:

Следующий столбец – восьмерки. Складываем 1 и 0 и 1, получаем 10, пишем 0 и держим 1 в уме:

Заканчиваем на столбце, означающем, сколько раз в числе встречается 16. Сложение дает 10, мы пишем 0 в текущем столбце и 1 в столбце с разрядом 32:

Мы обнаружили, что 10100 + 1110 = 100010.

Переведем это на язык десятичных чисел:

10100₂ = 20, 1110₂ = 14, 100010₂ = 34.

Разумеется, 20 + 14 = 34.

Умножение в двоичной системе проще, чем в десятичной. Достаточно усвоить два принципа: сложение двоичных чисел (мы в нем только что разобрались) и умножение на степени двойки.

Умножение числа на 10 в десятичной системе не представляет сложности: мы просто добавляем цифру 0 справа: 23 × 10 = 230. Точно так же выглядит умножение на 2 в двоичной системе: 1101 × 10 = 11010. В случае десятичных чисел это очевидно, в случае двоичных 1101 означает:

× 8 + × 4 + × 2 + × 1.

Умножение на 2:

× 16 + × 8 + × 4 + × 2 + × 1.

Лишний ноль на конце дает 11010.

Умножение на 4, 8 и другие степени двойки тоже просто: например, умножение на 8₁₀ (1000₂) равнозначно приращению трех нулей с правой стороны числа.

Итак, умножение превращается в игру «перемести-и-добавь-цифры». Проиллюстрируем это на примере умножения 11010 на 1011. Для начала запишем второе число так:

1011 = 1000 + 10 + 1.

Умножение на 11010 можно представить так:

11010 × 1011 = 11010 × (1000 + 10 + 1) = 11010 × 1000 + 11010 × 10 + 11010 × 1 = 11010 + 11010 + 11010.

Удобнее умножать в столбик:

А вот и ответ:

Давайте переведем числа в десятичные, чтобы удостовериться, что все правильно:

11010₂ = 16 + 8 + 2 = 26;

1011₂ = 8 + 2 + 1 = 11;

100011110₂ = 256 + 16 + 8 + 4 + 2 = 286.

Мы не ошиблись: 26 × 11 = 286.

Дроби

В десятичной системе мы можем записывать не только целые числа. Если поставить в конце запятую[35], мы получим новые места для цифр: по мере движения вправо степени десяти будут все меньше. Например, 34,27 – это компактный способ записи такого выражения:

Двоичная система тоже позволяет записывать дробные значения. Каждую следующую цифру после запятой[36] мы умножаем на предыдущую степень двойки. Например, 101,011₂ означает:

Непривычный способ записать одну вторую: 0,1₂!

Есть и другие системы счисления, помимо десятичной, единичной и двоичной[37]. В третичной системе мы пользуемся цифрами 0, 1 и 2, здесь все строится на степенях тройки. Скажем, 1102₃ означает:

1 × 27 + 1 × 9 + 0 × 3 + 2 × 1 = 38.

В дробях первая позиция справа от запятой означает умножение на одну третью, вторая позиция – на одну девятую и т. д.:

Если представить 42 в виде суммы степеней двойки, мы увидим, что это 101010. А число 11011 можно представить как 16 + 8 + 2 + 1 = 27.

Глава 3

0,99999999999…

Безусловно, простейший способ записать число один – это цифра 1. Но вы можете столкнуться с тем фактом, что уходящая в бесконечность десятичная дробь 0,999999… представляет собой другой способ записи того же числа. В главе 3 мы присмотримся к этому обстоятельству повнимательнее.

Что означают десятичные числа?

Привычная нам десятичная система счисления удобна и работает отменно, почти без перебоев. Она хорошо подходит для записи целых чисел. 235 – это компактный способ сказать «две сотни, три десятка и пять единиц». Или, на языке математики:

235 = 2 × 100 + 3 × 10 + 5 × 1.

Для некоторых дробных величин десятичная система счисления также чрезвычайно эффективна. Возьмем число 3/4. В десятичной системе его можно записать так: 0,75. Эта запись означает:

Десятичная дробь 0,75 в точности равна 3/4.

Тем не менее если мы предпримем попытку записать 2/7 в виде десятичной дроби, то потерпим фиаско. Если мы попробуем разделить два на семь с помощью калькулятора, то получим неприглядное 0,28571429, причем это будет лишь приближенное значение, не равное в точности 2/7.

Такие числа, как 3/8, могут быть представлены в виде десятичной дроби, потому что знаменатель в них легко представить в виде одной из степеней десятки: 3/8 = 375/1000. Но нельзя найти целое число A, для которого выполнялось бы условие:

так как это подразумевает 2 × 10ⁿ = 7 × A. Ни одно целое число A не подходит в качестве решения уравнения, потому что левая сторона не делится на 7, а правая сторона делится. Представить 2/7 в качестве десятичной дроби невозможно. Если только не…

Десятичные дроби с бесконечным числом символов

Идея десятичной дроби с бесконечным числом символов содержит в себе один подвох, и сейчас мы выясним, какой именно. Вернемся к началу главы: что означает 0,99999… и почему оно равно 1?

Для начала давайте представим 0,999999… не как одно число, а как ряд чисел, где каждое следующее – это предыдущее с приделанной справа цифрой 9. Вот как выглядит такой ряд:

0,9 0,99 0,999 0,9999 … (*)

и так далее ad infinitum[38]. Ясно, что элементы ряда (*) постоянно возрастают. Каждый следующий элемент пусть ненамного, но больше предыдущего.

Докажем два факта:

1. Все элементы возрастающего ряда (*) меньше 1.

2. Тем не менее для любого числа x, которое меньше 1, рано или поздно отыщется элемент ряда (*), превышающий x.

Представим элементы ряда (*) в виде обыкновенных дробей:

Есть компактный способ записать эти дроби. Знаменатели представляют собой степени десяти: 10¹, 10², 10³ и т. д. Каждый числитель на единицу меньше соответствующего ему знаменателя. Перепишем ряд снова:

Очевидно, что n-ный элемент ряда будет выглядеть так:

Легко убедиться, что все члены ряда (*) меньше 1, потому что числитель всякий раз оказывается меньше знаменателя.

Теперь докажем второе утверждение: если число x меньше 1, рано или поздно найдется элемент ряда (*), превышающий x.

Так как x меньше 1, разность (1 – x) положительна. Даже если x невероятно близок к единице, разница между ними будет мизерная, но положительная. Умножим (1 – x) на одну из степеней десяти:

10ⁿ × (1 – x).

Так как разность (1 – x) положительна, это произведение будет больше 1, если 10ⁿ достаточно велико[39]:

10ⁿ × (1 – x) > 1.

Раскроем скобки:

10ⁿ – 10ⁿx >