Призракът от големите плитчини

Съществуват два възможни начина за определяне мястото на дадена точка в пространството. По-често срещаният използва познатата координатна система посоките запад, изток, север, юг или изобразяването на милиметрова хартия — x върху хоризонталната ос и y върху вертикалната. Но има още един начин — системата, използвана в радара, позната на мнозина в наши дни благодарение на киното. При нея местоположението на предмета се определя /а/ от разстоянието му спрямо дадена отправна точка, и /б/ от неговата посока на движение. По една случайност това е естествената система, която човек използва автоматично и напълно несъзнателно при всяка игра с топка. Така той преценява разстояния и ъгли, като сам служи за отправна точка.

Опитайте се да си представите монитора на компютъра като екран на радар с една-единствена точка върху него, чиито движения ще проследят М-множеството. Но преди да включим нашия радар, бих искал да опростя още повече уравнението:

Z = z²

За момент изхвърлих члена с. Сега трябва да дефинирам по-точно двете z.

Малкото z е първоначалното разположение на изображението. Z е окончателното разстояние спрямо отправната точка. Така, ако то е първоначално на разстояние 2 единици) по формулата Z ще бъде 4.

Няма защо да се вълнувате — сега идва една малка, но съществена промяна, която решава всичко:

Двойната стрелка е знак за движение в двете посоки, показваща, че числата се променят взаимно непрекъснато. Този път не спираме при Z = 4; то вече е равно на ново z, което бързо ни дава нова стойност за Z = 16 и т.н. За нула време сме получили серията

256; 65 536; 4 294 967 296

и точката, тръгнала само на две единици от центъра, стремително се приближава към безкрайността с огромни, все повече увеличаващи се стъпки.

Този процес на повторение се нарича „итерация“. Прилича на куче, което гони собствената си опашка, но с тази разлика, че кучето не стига доникъде, докато математическата итерация може да ни заведе до много интересни места, както скоро ще се убедите сами.

Сега вече сме готови да включим нашия радар. Повечето екрани са разграфени на обхвати 10, 20… 100 км от центъра. Ще ни е нужен обхват със стойност 1. Не е нужно да определяме мерните единици, тъй като работим с чисти числа. Все едно е дали ще са сантиметри или светлинни години.

Да предположим, че първоначалното разположение на нашата точка е някъде върху кръга, очертаващ обхвата — ориентацията не е от значение. И така z = 1.

Тъй като 1 на квадрат е също едно, Z = 1. Точката може да се върти по кръга, на винаги ще остане върху него.

Сега да разгледаме случая, когато z е по-голямо от единица. Вече видяхме как стойностите бързо нарастват към безкрайност, ако z е равно на 2, но същото ще стане рано или късно дори ако е съвсем малко по-голямо от 1, да речем 1,000000000000000000001. Сега вижте какво става:

При първото повдигане на квадрат Z става

1,000000000000000000002,

тогава

1,000000000000000000004

1,000000000000000000008

1,000000000000000000016

1,000000000000000000032

и т.н. на стотици страници разпечатка. Практически стойността е все още точно 1. Точката не се е помръднала видимо наляво и надясно от единицата. Тя все още е разположена върху кръга.

Но нулите бавно намаляват, а цифрите продължават неумолимо своя ход наляво към единицата. Съвсем неочаквано се появяват цифри на четвърто, трето, второ, първо място след десетичната точка и всички те буквално експлодират, както сочи следният пример:

1,001 1,002 1,004 1,008 1,016 1,032

1,066 1,136 1,292 1,668 2,783 7,745

59,987 3598,467 12948970

167675700000000

28115140000000000000000000000

(Тук се претоварва и най-мощният компютър) От дясната страна на единицата може да има милион и дори милиард нули, но резултатът ще бъде един и същ. Рано или късно цифрите ще пропълзят до десетичната точка и тогава Z ще поеме пътя си към безкрайността.

Сега да разгледаме другия случай. Да приемем, че z е съвсем малко по-малко от 1, да речем нещо като

0,99999999999999999999

Както и преди, не се случва нищо особено, докато продължаваме по серията, освен че числата най- вдясно стават все по-малки. Но след няколко хиляди или милион итерации — истинска катастрофа! Z внезапно се свива до едно нищо, разтваряйки се в безкрайни редици от нули…

Проверете го на собствения си компютър. Може да борави само с 12 знака? Добре, тогава го приемете на доверие: колкото пъти се опитате да повдигнете това число на квадрат, отговорът ще е един и същ…

Резултатите от тази малка „програма“ може да бъдат обобщени в три закона, които са толкова очевидни, че не си струва изобщо да ги формулираме. Но никоя математическа истина не е тривиална и след няколко допълнителни стъпки напред тези закони ще ни отведат в една изумително красива вселена.

Ето трите закона на Програмата за повдигане на квадрат:

1. Ако първоначалното число z е равно на 1, резултатът остава винаги 1.

2. Ако първоначалното число z е по-голямо от 1, резултатът клони към безкрайност.

3. Ако първоначалното число z е по-малко от 1, резултатът клони към 0.

Кръгът с радиус 1 е нещо като периметър или ако ви харесва повече — ограда, която разделя равнината на две отделни територии. Числата извън нея, подчиняващи се на закона за повдигане на квадрат, са свободни да полетят към безкрайността; числата вътре в тази област са своеобразни пленници, обречени на унищожение, т.е. да се превърнат в 0.

Тук някой може да каже: „Досега говорихте само за разположение спрямо отправната точка. За да фиксираме точно положението на нашата точка, трябва да ни дадете и ориентацията.“

Съвсем правилна забележка. За щастие в този процес на селекция, при това разделяне на стойностите на z в две отделни групи, ориентацията е без значение; същото се отнася и за всички посоки в радиус г. В нашия прост случай — да го наречем К-множество — можем да ги пренебрегнем. Когато стигнем до по- сложния случай на М-множеството, където ориентацията е от особено важно значение, ще приложим един чудесен математически трик, който ще ни помогне. Ще въведем използването на сложни или имагинерни числа (които в действителност изобщо не са сложни и още по-малко имагинерни). Но засега те не са ни нужни и ви обещавам да не ги споменавам отново.

К-множеството лежи в очертанията на една равнина с граница кръгът, който я обгражда. Този кръг е една непрекъсната крива, лишена от всякаква плътност. Дори да я разглеждате под електронен микроскоп, тя ще изглежда винаги по един и същи начин. Можете да разширите К-множеството до размерите на вселената, неговата граница ще си остане с нулева плътност. Освен това в нея няма никакви пробиви; тя е абсолютно непроницаема бариера, разделяща завинаги стойностите на z по-малки от 1 и онези, по-големи от 1.

Сега най-сетне сме готови да се заемем с М-множеството, където всичките досегашни съвсем очевидни идеи се обръщат с главата наопаки. И така: затегнете наопаки…

През 70-те години, френският математик Беноа Манделброт, работещ в Харвард и „Ай Би Ем“, започна