поcледовательно в одном из двух возможных вариантов обхода: i1,i2,i3,i4 или i1,i3,i2,i4 .
Пусть оптимальный гамильтонов цикл обходит вершины графа в последовательности
i1, i2, i3, ..., in, i1. (1.а)
Гамильтонов цикл, оптимальный для определенного значения a, назовем a-оптимальным. Для a = 4 справедливо неравенство:
? (ikik+1) + ? (ik+1ik+2) + ? (ik+2ik+3) ?
? ? (ikik+2) + ? (ik+2ik+1) + ? (ik+1ik+3).
Условие (2) необходимо проверить для всех ik = i1, i2, ..., in и, если оно для всех ik справедливо, то это необходимое и достаточное условие того, что гамильтонов цикл 4-оптимален. Просуммировав левые и правые части неравенств, получающихся при значениях ik = i1, i2, ..., in, получаем необходимое условие 4-оптимальности в виде:
Справедливо следующее условие: Если гамильтонов цикл a1-оптимален, то он a2- оптимален для любого a2<a1.
Если это условие не выполняется, т.е. a1-оптимальный гамильтонов цикл не является a2-оптимальным, то какой-то из простых путей длины a1 можно улучшить изменением обхода каких-то a2 вершин, что противоречит условия a1-оптимальности.
Перейдем к определению условия a-оптимальности, получаемого аналогично тому, как условие (З) получено из (2), из системы неравенств вида (2), для любого a=const суммированием для всех ik=1, 2, ..., n
Для каждого значения k будет иметь место система из ((а-2)!-1) неравенств по числу элементов множества Р, состоящего из (а- 2)! перестановок чисел i?k+1, i?k +2, ..., i?k+a-2 При этом мы полагаем, что
? (ik,ik+1, ..., ik+a-1) = ? (ik, ik+1) + ? (ik+1ik +2 ) + ... + ? (ik+a-2 ik+a-1).
? (ik, i?k+1, ..., i?k+a-2, ik+a-1) = ? (ik, i?k+1) + ? (i?k+1, i?k+2) + ... + ? (i?k+a-2, ik+a-1).
Обозначим левую и правую части условия (4) буквами А и В, соответственно: А ? В.
В левой части неравенства вес каждого ребра, принадлежащего проверяемому участку гамильтонова цикла, участвует точно по одному разу в каждом неравенстве системы из ((a-2) !-1) неравенств, задаваемых перестановками, принадлежащими множеству Р, при фиксированной начальной вершине.
Кроме этого, при заданном a=const, если производить проверку выполнения условия (9.2.4), изменяя последовательно номер начальной вершины от i1 до in, то любое ребро гамильтонова цикла появится точно в (a- 1) системах из этих ((a-2)!-1) неравенств как первое по счету, второе, третье и т.д. (a-1)-e ребро в проверяемых участках гамильтонова цикла.
Следовательно, левая часть неравенства (4) имеет вид:
Выражение для правой части условия (4) можно записать в виде: 
Для того, чтобы получить выражение для правой части условия (4), необходимо найти число появлений ребер графа вида (ic, ic+N ) в каждой системе из ((a- 1)!-1) неравенств, задаваемых определенным значением k, а также во всех системах этих неравенств, получаемых при изменении ik от i1 до in. Очевидно, что число появлений пар (iс, ic+N) в правых частях неравенств вида (4) равно числу появлений пар (ic, ic+N) в последовательностях:
ik, i?k+1, i?k+2, ..., i?k+a-2, ik+a-1 (5)
задаваемых (a-2)! перестановками чисел i?k+1, i?k+2, ..., i?k+a-2.
Следует учесть также, что одна из этих последовательностей, а именно i1, i2, i3, ..., ik +a-1 находится в левой части этих неравенств.
Пары icic+N можно разделить на следующие виды по признаку, содержат они или нет «неподвижные» вершины ik и ik+a-1:
