Мёртвая вода. Часть 2

некой единой размерности, или лишая их размерности вообще, что позволяет в математической модели корректно складывать реальные хлеб, чугун, компьютеры, самолеты и телевизоры, производимые разными отраслями.

Ортогональность базиса — перпендикулярность друг другу любой пары координатных осей. Ортогональность базиса в задачах экономических приложений можно условно интерпретировать как полную взаимо-НЕ-заменяемость продукции в номенклатуре спектров производства X_K , F_K. При сделанных предположениях система ограничений, налагаемых на межотраслевой баланс, математически описывается так:

(E -A) X_K = F_K  => F_K min

X_K  => 0                            ЛП-П

Найти Min( Z ),  Z = r₁X_K 1 + r₂X_K 2 + ... + r_nX_K n

В терминах математики это — задача линейного программирования[139] (далее аббревиатура ЛП). Это задача продуктообмена (отсюда дополнительное мнемоническое обозначение «П»). Условие X_K ?0 , хотя оно присутствует и в канонической формально-математической постановке задачи линейного программирования, имеет и экономический смысл — неотрицательности валовых производственных мощностей. В задачу могут быть введены и иные таким же способом формализованные ограничения, например: биосферно-экологические ограничения в их формализованном виде X_K < X_K max , F_K  <  F_K max , ограничения на численность персонала и т.п. Но они не изменяют характера используемых математических методов, если все ограничения выражены в линейных функциях, т.е. функциях типа f =Sa_i x_i , где а_i — коэффициенты, а x_i — переменные,i = 1, ... , N . В такого рода системы неравенств могут входить и уравнения, так как каждое из уравнений f(x)= c эквивалентно введению в систему двух нестрогих неравенств f(x)? c , f(x)? c , которые оба должны удовлетворяться в решении системы.

Математический аппарат линейного программирования существует с начала 1940?х гг. и используется в качестве средства для формализованного выбора оптимального решения в задачах управления объектами, описываемыми большим числом параметров; а также для формализованного выбора оптимального сочетания множества характеристик объектов при их проектировании и научно-техническом сопровождении осуществления проектов.

Именно по этой причине, т.е. для поддержания необходимой глобальному надиудейскому предиктору функциональной недееспособности при решении многопараметрических задач управления (и разработки технологий и продукции) линейное программирование и некоторые другие разделы математики, допускающие их такого рода приложение, не только исключены из типичного вузовского курса в СССР[140], но даже вообще не упоминаются в них. Поэтому в нашей стране с линейным программированием и аналогичного назначения другими разделами математики знакомы содержательно-методоло­ги­чески только математики-абстракционисты, прошедшие через университетский курс высшей математики. А весьма малое число специалистов иных отраслей знания и техники просто бездумно натасканы на сложившиеся и ставшие традиционными прикладные интерпретации математического аппарата. В связи с этим пробелом в образовании большинства даже не-гуманитариев, прежде чем говорить о прикладных интерпретациях аппарата линейного программирования, поговорим о его существе.

В трехмерном пространстве линейное уравнение с тремя неизвестными:  a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ + b = 0 — задает плоскость. Два уравнения задают две плоскости и, если плоскости пересекаются, то и прямую линию — линию их пересечения. Каждая плоскость рассекает полное бесконечное во все стороны пространство на два “полупрос­тран­ства”, подобно тому, как удар ножом рассекает картофелину пополам. Замена знака равенства ( = ) в уравнении плоскости на знак неравенства (< , > , ? , ? ) есть выбор одного из полупространств, определяемых плоскостью, и изъятие из рассмотрения второго. При этом строгое неравенство ( < , > ) исключает из избранного полупространства секущую полное пространство плоскость, а нестрогое ( ? , ? ) включает секущую плоскость в избранное полупространство (т.е. “нож” остается прилепленным к одной из половинок “картофелины”).

Много неравенств — это вырезание бесконечно простирающимися плоскостями из полного пространства некоторой области. Геометрически такая область — многогранник.

В n?мерном пространстве всё точно также. Линейное уравнение n переменных определяет подпространство размерностью n ? 1 , называемое гиперплоскостью. Много неравенств в n?мерном пространстве вырезают из него гиперплоскостями n?мерную область. Эта область является n-мерным многогранником; причем выпуклым многогранником. Свойство выпуклости означает, что всякие две точки на поверхности, ограничивающей многогранник, могут быть соединены отрезком прямой линии, и все точки этого отрезка будут принадлежать либо внутренности этого многогранника, либо ограничивающей его поверхности.

Картофелина после её обрезки ножом — трехмерный эквивалент такого n- мерного многогранника. Свойство выпуклости проявляется в том, что, если из любой точки на её поверхности картофелину проткнуть прямолинейной спицей в произвольном направлении, то спица войдет в картофелину и выйдет из неё только по одному разу: т.е. одно пронзание спицей картофелины на её поверхности оставляет только две дырки.

Аргумент Z функции Min(Z) критерия оптимальности — также линейная функция n переменных:

Z = r^TX_K = (r₁ , r₂ , ... , r_n)(X_K 1 , X_K 2 , ... , X_K n) ^T =

= r₁X_K 1 + r₂X_K 2 + ... + r_nX_K n .

То есть скалярное произведение векторов r^TX_K в ортогональном базисе — также уравнение гиперплоскости. Её направленность в пространстве определяется набором коэффициентов r₁ , r₂ , ... , r_n . При этом вектор r=(r₁ , r₂ , ... , r_n) ^T ортогонален (т.е. перпендикулярен) к гиперплоскости, задаваемой уравнением Z = r^T X_K . Удаленность гиперплоскости от начала системы координат обусловлена значениемZ , являющимся свободным членом уравнения r^T X_K - Z = 0. При численно не определенном значении свободного члена Z этого уравнения пространство заполнено “пакетом” параллельных гиперплоскостей, каждая из которых “касается” соседних с нею двух. В трехмерной аналогии это — “слоеный вафельный торт”, в котором исчезающе тонкие вафли и прослойки начинки между ними — плоскости, различимые по значению Z каждой из них.

В задаче линейного программирования координаты точек, т.е. конкретный набор значений X_K 1 , X_K 2 , ... , X_K n , определяющий значение аргумента Z = r^T X_K  критерия оптимальности Min(Z), могут выбираться только из области, вырезанной  всем набором