Конечно, по вопросу об авторстве плана, который привел португальских навигаторов к установлению морской связи между Европой и Индией, мнения историков расходятся. Некоторые считают, что автором идеи был еще принц Энрике Навигатор (Генрих Мореплаватель). Но в любом случае, постепенное накопление знаний о южных странах и морях, об океанических течениях, ветрах и об общих условиях навигации, которые собирали португальские навигаторы начиная от Жил Эаниша (1434), независимо от того, ставили или не ставили они перед собой цель достичь Индию, содействовали тому, что открытие Васко да Гамы стало возможным.
История математики
От буквы к цифре
Процесс формирования математических понятий и приемов решения элементарных задач охватывает огромный промежуток времени. Его начало теряется в глубине веков, а закончился он лишь тогда, когда совокупность этих понятий и методов стала достаточно богатой, чтобы образовать логически связанные системы – начальные формы математических теорий.
Материальные свидетельства, по которым можно изучать этот самый ранний период в истории математики, немногочисленны и неполны. Поэтому приходится привлекать данные общей истории культуры человечества и лингвистики.
Общие начала математики
При всем своеобразии развития математических приемов у разных народов общее для них всех в том, что основные понятия: числа, фигуры, площади, бесконечно продолжающийся натуральный ряд и так далее, возникли из практики. Например, понятие числа понадобилось для пересчета предметов. Вначале счет производился с помощью подручных средств: пальцев, камней и т. д. Так, латинское calculus означает счет камешками.
Запас чисел на ранних ступенях был весьма ограничен, он удлинялся лишь постепенно. А с употреблением все больших и больших чисел возникали и развивались их символы, а сами числа образовывали системы.
В каждой из иероглифических непозиционных систем счисления строится система так называемых узловых чисел (чаще всего
Выполнять арифметические действия над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее римская нумерация преобладала в Италии до XIII, а в других странах Западной Европы – до XVI века.
К иероглифической системе относятся и алфавитные системы счисления. В них буквы алфавита, взятые группами по 9, используются соответственно для обозначения единиц, десятков и сотен. Каждой букве при этом дается отличительный знак (титл, черточки над цифрами), указывающий, что буква используется как число. Если букв алфавита было недостаточно, привлекали дополнительные знаки. Типичный пример алфавитной системы – византийская, арабская, славянская. А это и понятно: они вышли из одного источника.
Историки науки считают, что в древнейшее время в Греции применялась так называемая
Эта система очень напоминает римскую, ведь и числа римского счета I, V, X, L, С, D, М одновременно были буквами, и к ним тоже добавляются «палочки». Причем римская система применялась в Европе до перехода на так называемые арабские, а на самом деле индийские цифры, имевшие почти современный вид; Византия перешла на них в XII веке, на 200 лет раньше Западной Европы. Можно предположить, что аттическая нумерация была навязана грекам Византии латинянами, после захвата ими Царьграда и Греции в ходе 4-го Крестового похода 1204 года.
После аттической нумерации греки якобы выбрали другую,
Преимущество алфавитных систем в краткости записи, однако они мало пригодны для оперирования с большими числами и требуют значительных усилий для запоминания.
Со временем сформировались позиционные недесятичные, а затем десятичная системы. К позиционным недесятичным системам относится вавилонская, к позиционной десятичной – индийская. О них мы поговорим чуть позже.
Люди в разных местах и в разное время постепенно накапливали эмпирические знания, развивая ремесло, земледелие, обмен и торговлю. Эти знания подвергались систематизации; так выделился особый вид понятий и методов решения задач. Пересчет элементов конечных множеств, а также упорядочивание этих элементов привели к понятию натурального числа, как количественного, так и порядкового. Сравнение масс предметов, объемов сосудов, расстояний дали понятие величины. Изучение формы изделий, зданий, земельных участков вывело к понятию геометрической фигуры, как части геометрического пространства (само слово геометрия в переводе с греческого означает «землемерие»).
Так же из повседневной практической деятельности сформировались и другие математические понятия: площади, объема и прочих абстракций пространственных свойств предметов.
Ведь создание математической науки есть прежде всего переход к абстракциям. Вместо счета стрел, голов скота и т. д. родилось абстрактное понятие числа. Стало возможным предварять непосредственное оперирование с вещами оперированием с их упрощенными, схематическими изображениями и наименованиями (символами).
Наконец, наступил период, когда это знание стало востребованным в заметных масштабах, в обществе образовалась прослойка людей, умеющих пользоваться совокупностью математических приемов. С этого момента, можно сказать, начала существовать математика как наука.
Прежде всего началась арифметика. Предмет ее составляют не числа, а система чисел с ее связями и законами, да и сама арифметика может быть определена как наука об отношениях между числами. Само же слово