Математика. Поиск истины.

смесь, не разлагая ее на отдельные компоненты. В действительности в реальном мире нет красок. Цвет по словам Гёте, — это то, что мы видим.

Мы воспринимаем непосредственно не физический объект, а информацию о нем, которую дают наши органы чувств. Они же дают и всегда будут давать не подлинное изображение объективной реальности, доступной или недоступной нам, а скорее картину отношений между человеком и реальностью.

Тем не менее люди считают, что наша интуиция действует и за пределом чувственного опыта и мы можем с уверенностью полагаться на нее. Попробуем разобраться, сколь надежна человеческая интуиция.

Предположим, что некто совершает поездку на автомобиле из Нью-Йорка в Буффало (расстояние 400 миль) и по дороге туда развивает скорость 60 миль/ч, а по дороге обратно — всего лишь 30. Какова его средняя скорость? Интуиция почти заведомо подсказывает нам, что средняя скорость равна 45 миль/ч. Правильный же ответ, который получается, если расстояние разделить на время в пути, оказывается иным: около 40 миль/ч.

Рассмотрим еще несколько примеров проявления нашей хваленой интуиции. Предположим, что мы открыли в банке счет на сумму P долл. Банк выплачивает вкладчикам i процентов годовых, причем проценты начисляются не от начальной, а от текущей суммы (сложные проценты). Мы хотим выждать, покуда исходная сумма не удвоится. Предположим, что это произойдет через n лет. Интуиция подсказывает нам, что если бы мы открыли счет на сумму 2P долл., то она удвоилась бы быстрее, чем за n лет. В действительности же нам пришлось бы ждать удвоения нашего вклада одинаково долго.

Предположим, что некто сначала поднимается на веслах вверх по реке на 2 мили, а затем спускается вниз по реке на 2 мили. Скорость течения — 3 мили/ч. В стоячей воде наш гребец способен развивать скорость 5 миль/ч. Сколько времени — уйдет у него на весь путь туда и обратно? Интуиция подсказывает нам, что, когда лодка плывет вниз по реке, течение помогает ровно настолько, насколько оно мешает, когда лодка плывет вверх по реке. Следовательно, гребец преодолевает расстояние 4 мили со скоростью 5 миль/ч, затрачивая на весь путь туда и обратно ⁴/₅ ч. Интуиция обманывает нас; на весь путь туда и обратно гребец затрачивает в действительности час с четвертью.

Предположим, что, желая приготовить мартини с более пикантным вкусом, мы добавляем к кварте джина кварту вермута. Интуиция подсказывает, что получатся две кварты мартини. Правильный ответ и на этот раз расходится с интуитивно ожидаемым: мартини получится одна и девять десятых кварты. Аналогичным образом, при смешивании пяти пинт воды и семи пинт спирта не получится двенадцать пинт смеси. В обоих случаях молекулы располагается более экономно.

Обратимся теперь к проблеме времени. Мы можем говорить о секунде, следующей за данной секундой. Секунда — всего лишь продолжительность определенного интервала времени. Интуиция подсказывает нам, что за каждым мигом есть следующий. Но миг, или мгновение, — это не продолжительность интервала времени (вспомним хотя бы: «И в этот миг часы пробили один раз»). Нельзя не вспомнить и о парадоксе, впервые сформулированном Зеноном Элейским (V в. до н.э.). Летящая стрела в любой момент времени занимает определенное положение в пространстве. Когда стрела успевает переместиться из одного положения, в другое?

Рассмотрим другую задачу, тесно связанную с временем. Часы пробили шесть ударов за пять секунд. За сколько секунд эти часы пробьют двенадцать ударов? Интуиция подсказывает: за десять. Но шесть ударов разделены пятью паузами, а двенадцать ударов — одиннадцатью. Следовательно правильный ответ: за одиннадцать, а не за десять секунд.

Приведем еще несколько примеров того, как нас подводит интуиция. Рассмотрим два прямоугольника с равными периметрами. Должны ли они иметь равную площадь? На первый взгляд кажется, что должны. Но, как показывают нехитрые расчеты, равенство площадей отнюдь не обязательно. Естественно напрашивается вопрос: какой из прямоугольников с одинаковыми периметрами имеет наибольшую площадь? Допустим, мы сооружаем забор вокруг участка земли прямоугольной формы и всю его площадь намереваемся использовать под посевы. Ясно, что наиболее желательным в этом случае является прямоугольник, обладающий при данном периметре наибольшей площадью. Это — квадрат.

Аналогичная проблема возникает при рассмотрении двух коробок одинакового объема. Одинакова ли у них площадь поверхности? Предположим, что объем каждой коробки равен 100 м³. Одна коробка имеет размеры 50?1?2 м³, другая — 5?5?4 м³. Соответственно площадь поверхности коробки составляет 204, а другой — 130 м². Разница весьма ощутимая.

Еще один пример того, как может заблуждаться наша интуиция, — история о молодом человеке, вставшем перед необходимостью выбора, какой из двух работ отдать предпочтение. Начальный оклад в обоих случаях одинаков: 1800 долл. в год, но в одном месте обещали ежегодную прибавку в 200 долл., а — в другом — каждые полгода 50 долл. Какое из предложений заманчивее? На первый взгляд кажется, что ответ очевиден: ежегодная прибавка в 200 долларов более весома, чем прибавка, дающая в год лишь 100 долл. Но займемся несложными расчетами и выясним, сколько долларов получит молодой человек на одной и другой работе за последовательные полугодия. На первой работе ему выплатят 900, 900, 1000, 1000, 1100, 1100, 1200, 1200…, на второй (с прибавкой в 50 долларов каждые полгода) — 900, 950, 1000, 1050, 1100, 1150, 1200, 1250…

Из сравнения этих двух последовательностей видно, что вторая работа сулит молодому человеку больший доход за второе полугодие каждого года и такой же доход, как первая работа, за первое полугодие каждого года. Нехитрые подсчеты позволяют разобраться, почему так происходит. Прибавка в 50 долл. за каждые полгода означает, что заработная плата возрастает на 50 долл. за шесть месяцев, или на 100 долл. за год. Иначе говоря, получив за год две прибавки по 50 долл., молодой человек с начала следующего года будет получать столько же, сколько он получил бы, имея годовую прибавку в 200 долларов. С этой точки зрения к началу каждого следующего года оба предложения оказываются одинаково выгодными. Но на второй работе молодой человек начинает получать прибавку уже через полгода, тогда как на первой ему пришлось бы ждать прибавки целый год. Именно поэтому на второй работе он получает за второе полугодие больше, чем на первой.

Рассмотрим еще одну простую задачу. Торговец продает яблоки по 5 центов за пару и апельсины по 5 центов за три штуки. Боясь просчитаться, торговец решает смешать фрукты и продавать их по 10 центов за пять штук. Такой шаг на первый взгляд представляется разумным. От продажи двух яблок и трех апельсинов, т.е. пяти штук фруктов, он выручил бы раньше 10 центов. Смешав яблоки с апельсинами, торговец, как ему казалось, получил возможность продавать любые фрукты без разбора по 2 цента за штуку, тем самым существенно упростив расчеты с покупателями.

Но в действительности торговец обманул самого себя. В этом нетрудно убедиться на примере. Предположим, что торговец вынес на продажу дюжину яблок и дюжину апельсинов. Обычно он, продавая яблоки по 5 центов за пару, выручил бы за дюжину яблок 30 центов. Продавая апельсины по 5 центов за три штуки, торговец выручил бы за дюжину апельсинов 20 центов. Следовательно, его общая выручка составила бы 50 центов. Продавая же две дюжины фруктов по 10 центов за пяток, он выручил бы по 2 цента за штуку, или всего 48 центов. Средняя цена одного фрукта равна не 2 центам, a 2¹/₁₂ цента.

Торговец понес убыток из-за того, что допустил ошибку в своих рассуждениях. Он предполагал, что средняя цена яблок и апельсинов должна быть по 2 цента за штуку, тогда как средняя цена яблока составляет 2¹/₂ цента, а средняя цена апельсина — 1²/₃ цента. Средняя цена одного фрукта равна 2¹/₁₂ цента, а не 2 центам.

Приведем еще одну распространенную ошибку интуиции. Предположим, у нас имеется сад круглой формы радиусом 10 м. Мы хотим обнести его стеной, которая отстояла бы всюду на 1 м от границы сада. Насколько периметр стены длиннее периметра самого сада? Ответить на этот вопрос нетрудно. Периметр сада вычисляется по формуле геометрии: длина окружности равна 2?r, где r — радиус, а ? — число, которое приближенно равно ²²/₇. Следовательно, периметр сада составляет 2??10 м. По условию стена должна на 1 м отстоять от границы сада, поэтому радиус стены равен 11 м, а ее длина — 2??11 м., Разность длин двух окружностей равна 22? ? 20? =