толику того поистине неисчерпаемого множества разнообразных и важных явлений, которые нам необходимо и желательно знать.
Решающий, гигантский по своим масштабам и непреходящий по своему значению шаг к расширению и приумножению нашего знания внешнего мира был сделан, когда для изучения его стали применять математику. Математика не только уточнила и расширила наше знание явлений, доступных органам чувств человека, но и позволила открыть весьма важные явления, не воспринимаемые нами, но оттого не менее реальные по их воздействию, чем прикосновение к раскаленной плите. То, что в нашей повседневной жизни незримо присутствуют такие физические «духи», не вызывает сомнений. О том, как они были открыты, и пойдет наш рассказ.
Для нас, получивших современное образование, природа и «земные» приложения математики хорошо известны и воспринимаются как нечто само собой разумеющееся. Еще цивилизации, которые мы считаем творцами западно-европейской математики, а именно цивилизации Древнего Египта и Вавилона, около 3000 лет до н.э. создали набор полезных, но не связанных между собой правил и формул для решения практических задач, с которыми люди сталкивались в повседневной жизни. Вавилоняне и египтяне не сознавали, что математика способна распространить их знание природы за пределы доступного чувственному опыту. Созданную ими математику можно сравнить с алхимией, предшествовавшей химии.
Математика как логический вывод и средство познания природы — творение древних греков, которым они начали всерьез заниматься примерно за шесть веков до новой эры. Не сохранилось никаких документов VI-V вв. до н.э., способных рассказать нам, что заставило древних греков прийти к новому пониманию математики и ее роли. Вместо этого мы располагаем лишь более или менее правдоподобными догадками историков, один из которых, в частности, утверждает, что греки обнаружили противоречия в результатах, полученных древними вавилонянами при определении площади круга, и вознамерились выяснить, какой из результатов верен. Аналогичные расхождения обнаружились и по другим вопросам. В качестве еще одного объяснения историки ссылаются на философские интересы греков, но это только догадки, которые скорее поднимают вопросы, чем дают объяснения. Кое-кто считает, что дедуктивная математика ведет свою родословную от аристотелевской логики, возникшей в пылу дискуссий на общественно-политические темы. Однако древнегреческая математика зародилась до Аристотеля.
По-видимому, нам остается лишь констатировать, что у греков начиная с VI в. до н.э. сложилось определенное миропонимание, сущность которого сводилась к следующему. Природа устроена рационально, а все явления протекают по точному и неизменному плану, который в конечном счете является математическим. Человеческий разум всесилен, и если эту могучую силу приложить к изучению природы, то лежащий в основе мироздания математический план удастся раскрыть и познать.
Как бы то ни было, именно греки были первыми, кому достало дерзости и гения дать рациональное объяснение явлений природы. Неуемная тяга греков к познанию была окрашена волнующими, переживаниями поиска и исследования. Занимаясь изысканиями, греки наносили новые области знания на «карты» (примером такой «карты» может служить геометрия Евклида), чтобы те, кто идет следом, могли скорее достичь границ неведомого и принять участие в освоении новых областей.
На несколько более прочной исторической основе мы стоим, когда ссылаемся на то, что Фалес (около 640-546 до н.э.) из греческого города Милета в Малой Азии доказал несколько теорем евклидовой геометрии. Никаких документов того времени не сохранилось, и утверждение, что Фалес Милетский доказал теоремы логическими средствами, довольно спорно. Не подлежит, однако, сомнению, что и он, и его современники в Малой Азии размышляли о плане, заложенном в основы мироздания.
Более достоверно известно, что разработанная пифагорейцами (мистическо-религиозным орденом, существовавшим в VI в. до н.э.) программа выявления рационального плана, лежащего в основе природы, предусматривала использование математики. Пифагорейцев поражало, что физически столь разнообразные объекты обнаруживают тождественные математические свойства. Например, Луна и резиновый мяч имеют одинаковую форму и много других общих свойств, присущих всем шарам. Разве не очевидно, что математические соотношения, кроющиеся за внешним разнообразием, и должны быть сущностью явлений?
Если говорить более конкретно, то пифагорейцы усматривали сущность вещей и явлений в числе и числовых соотношениях. Число для них, было первым принципом в описании природы, и оно же считалось материей и формой мира. По преданию, пифагорейцы полагали, что «все вещи суть числа». Их вера в число станет более понятной, если учесть, что пифагорейцы представляли числа наглядно в виде множеств точек (возможно, символизировавших для них частицы) и располагали точки в виде фигур, которые могли представлять реальные объекты. Например, множества 
и 
назывались соответственно треугольными и квадратными числами и вполне могли представлять треугольные и квадратные объекты. Не подлежит сомнению и то, что, когда пифагорейцы развили и усовершенствовали свое учение, они начали понимать числа как абстрактные понятия, а физические объекты как их конкретные реализации.
Пифагорейцам принадлежит идея сведения музыкальных интервалов к простым соотношениям между числами; они пришли к этой мысли, совершив два открытия. Первое — что высота звука, издаваемого колеблющейся струной, зависит от ее длины, и второе — что гармонические созвучия издают струны, длины которых относятся между собой, как некоторые целые числа. Например, гармоническое созвучие возникает, если заставить колебаться две одинаково натянутые струны, одна из которых вдвое длиннее другой. Музыкальный интервал между издаваемыми такими струнами тонами ныне называется октавой. Другое гармоническое созвучие создают две струны, длины которых относятся, как три к двум: в этом случае тон, издаваемый более короткой струной, на квинту выше тона более длинной. Длины любых двух струн, рождающих гармоническое созвучие, действительно относятся между собой, как целые числа.
Движения планет пифагорейцы также сводили к числовым соотношениям. По их представлениям, тела, перемещаясь в пространстве, производят звуки, причем быстро движущееся тело издает более высокий звук, чем движущееся медленно. Возможно, такого рода идеи были навеяны свистящим звуком, который возникает при раскручивании веревки с тяжелым предметом на конце. Согласно пифагорейской астрономии, чем больше расстояние от планеты до Земли, тем быстрее планета движется. Следовательно, звуки, издаваемые планетами, изменяются в зависимости от их удаленности от Земли, и все звуки подчиняются определенной гармонии. Как и всякая гармония, такая «музыка сфер» может быть сведена к чисто числовым соотношениям. Но тогда и движения планет можно свести к числовым соотношениям.
Другие характерные особенности природы пифагорейцы также сводили к числу. Особенно высоко они ценили числа 1, 2, 3, 4, образующие
Четыре числа, входившие в тетрактис, в сумме давали десять, поэтому число «десять» пифагорейцы провозгласили идеальным числом и усматривали в нем символ всего мира. Но, так как число «десять» идеально, в небесах должны быть десять тел. Чтобы получить нужное число небесных тел, пифагорейцы придумали Центральный огонь, вокруг которого обращаются Земля, Солнце, Луна и пять известных тогда планет, а также Антиземлю, лежащую по другую сторону от Центрального огня. Ни Центральный огонь, ни Антиземля невидимы, так как мы обитаем на той части Земли, которая обращена в противоположную от них сторону. Так пифагорейцы построили астрономическую теорию, основанную на числовых соотношениях.
Приведенные примеры позволят нам понять высказывание, приписываемое знаменитому пифагорейцу Филолаю, жившему в V в. до н.э.:
Если бы ни число и его природа, ничто существовавшее нельзя было бы постичь ни само по себе, ни в его отношении к другим вещам… Мощь числа проявляется, как нетрудно заметить, не только в деяниях демонов, и богов, но и во всех поступках и помыслах людей, во всех ремеслах и музыке.
