Математика. Поиск истины.

обобщения, охватывающие отрицательные и комплексные числа. Разумеется, аксиоматизация более новых понятий требует более тонкого подхода, поэтому правильные аксиоматические обоснования некоторых областей математики удалось создать лишь через много лет после возникновения этих областей.

Помимо математических аксиом значительную часть лепты, вносимой математикой в наш физический мир, должно составлять и физическое знание. Оно может принимать форму физических аксиом (например, законов движения Ньютона), обобщений экспериментальных наблюдений или чистой интуиции. Эти физические допущения формулируются на языке математики, что позволяет применять к ним математические аксиомы и теоремы.

Но сколь ни фундаментальны понятия и аксиомы, именно дедуктивные выводы из аксиом дают нам возможность получать полностью новое знание, вносящее надлежащие поправки в наши чувственные восприятия. Из многих типов рассуждений (индуктивных, по аналогии, дедуктивных и т.д.) только дедуктивное рассуждение гарантирует правильность заключения. Например, придя к заключению «Все яблоки красные» на том основании, что тысяча просмотренных нами яблок были красными, мы пользуемся индуктивным рассуждением, поэтому наше заключение ненадежно. Заведомо ненадежно и заключение «Джон не мог не закончить этот колледж», которое мы делаем на том основании, что брат-близнец Джона, унаследовавший от родителей такие же способности, как и сам Джон, закончил этот колледж. В этом случае мы рассуждаем по аналогии, и наше рассуждение также ненадежно. В отличие от этого дедуктивное рассуждение, хотя оно может принимать разнообразные формы, гарантирует правильность заключений. Тот, кто считает, что все люди смертны, не может не согласиться с тем, что Сократ смертен. Лежащее в основе этого рассуждения логическое правило является разновидностью того, что Аристотель называл силлогистическим рассуждением, или силлогизмом. К числу других законов дедуктивного рассуждения Аристотель относил закон противоречия (любое утверждение не может быть одновременно истинным и ложным) и закон исключенного третьего (любое утверждение должно быть либо истинным, либо ложным).

И сам Аристотель, и мир в целом не сомневались в том, что сформулированные Аристотелем принципы дедуктивного рассуждения, если их применить к любым посылкам, приводят к заключениям столь же надежным, как и посылки. Следовательно, если посылки были истинными, то заключения также будут истинными. Заметим попутно, что принципы дедуктивного рассуждения Аристотель абстрагировал из рассуждений, которыми уже пользовались математики. Дедуктивная логика — дитя математики.

Необходимо по достоинству оценить, сколь радикальным было неукоснительное следование принципам дедуктивного доказательства. Мы можем проверить сколько угодно чисел и убедиться, что каждое из них представимо в виде суммы двух простых чисел. Однако мы не можем утверждать, что наш результат есть математическая теорема, поскольку он не был получен путем дедуктивного доказательства. Приведем еще один аналогичный пример. Предположим, что какой-то ученый измерил суммы углов 100 различных треугольников, отличавшихся по расположению, размерам и форме. В пределах точности измерений все суммы оказались равными 180°. Ученый, разумеется, сделал бы вывод, что сумма углов любого треугольника равна 180°. Но такое заключение верно только в пределах точности измерений. Кроме того, оставался бы открытым вопрос о том, не дадут ли существенно иной результат измерения, производимые над треугольником какой-нибудь еще не испробованной формы. Индуктивное заключение нашего естествоиспытателя математически неприемлемо. В отличие от него математик начинает с фактов или аксиом, которые представляются надежными. Кто может усомниться в том, что если к равным величинам прибавить равные величины, то суммы окажутся равными? С помощью таких неоспоримых аксиом можно, рассуждая дедуктивно, доказать, что сумма углов любого треугольника равна 180°.

В описанном нами дедуктивном процессе для обоснования рассуждения используется логика. При этом, по существу, мы до сих пор применяем так называемую аристотелеву логику. Естественно спросить, почему заключения, полученные с помощью такой логики, должны иметь какое-то отношение к природе. Почему теоремы, доказанные человеческим разумом в тиши кабинетов, должны быть применимы к реальному миру, как, впрочем, и аксиомы, которые во многих случаях являются не более чем измышлениями того же человеческого разума? К вопросу о том, почему математика столь эффективна, мы вернемся в гл. XII.

Необходимо отметить еще одну важную характерную черту математики: использование специальных обозначений. Хотя страница, испещренная математическими символами, способна отпугнуть непосвященного, нельзя не признать, что без специальных обозначений математики погрязли бы в неразберихе слов. Все мы используем те или иные символы, когда прибегаем к множеству общепризнанных сокращений. Например, мы часто пишем N.Y., вместо New York (Нью-Йорк), и, хотя смысл таких аббревиатур нужно знать заранее, не подлежит сомнению, что краткость символики способствует постижению сути дела, в то время как словесное выражение перегружает разум.

Резюмируя, суть тех средств, которыми математики добывают факты о внешнем мире, можно сформулировать следующим образом: математика строит модели целых классов реальных явлений. Понятия, обычно идеализированные (независимо от того, почерпнуты они из наблюдений природы или являются плодами человеческого разума), аксиомы, которые также могут быть подсказаны физическими фактами или придуманы людьми, процессы идеализации, обобщения и абстракции, а также интуиция — все идет в ход при построении моделей. Доказательство цементирует элементы модели воедино. Наиболее известная модель — евклидова геометрия, но мы познакомимся со многими более изощренными и простыми моделями, рассказывающими нам гораздо больше о менее очевидных явлениях, чем это делает евклидова геометрия.

Наша цель состоит в том, чтобы показать, как прочно входит математика в современный мир не только как метод, позволяющий компенсировать несовершенство наших органов чувств, но и в гораздо большей степени как метод расширения того знания, которое человек способен обрести об окружающем мире. Как сказал Гамлет, «и в небе и в земле сокрыто больше, чем снится вашей мудрости, Горацио». Нам необходимо выйти за пределы знания, добытого чувственным опытом. Суть математики в отличие от чувственного восприятия состоит в том, что, опираясь на человеческий разум и способность человека к рассуждениям, она порождает знание о реальном мире, которое среднему человеку, даже если он воспитан на рациональной западной культуре, кажется полученным исключительно путем чувственного восприятия.

Важность математики для исследования реального мира подчеркивал Алфред Норт Уайтхед в своей книге «Наука и современный мир»:

Ничто не производит столь сильного впечатления, как то обстоятельство, что математика, чем выше она возносится в горные области все более абстрактной мысли, неизменно возвращается на землю, обретая все большее значение для анализа конкретного факта… Парадокс, окончательно установленный ныне, состоит в том, что именно предельные абстракции являются тем истинным оружием, которое правит нашим осмыслением конкретного факта.

И как заметил однажды Давид Гильберт, один из самых выдающихся математиков XX в., физика в наше время слишком важна, чтобы оставлять ее физикам.

III Астрономические миры древних греков

Сократ. Прекрасно сказано. Начнем же хотя бы со следующего вопроса…

Протарх. С какого?

Сократ. Скажем ли мы, Протарх, что совокупность вещей и это так называемое целое управляются неразумной и случайной силой как придется или же, напротив, что целым правит, как говорили наши предшественники, ум и некое изумительное, всюду вносящее лад разумение?

Протарх. Какое же может быть сравнение, любезнейший Сократ, между этими