Математика. Поиск истины.

величие творения божьего.

Математическое знание, истина о плане, положенном Богом в основу мироздания, при таком подходе обретали столь же боговдохновенный характер, как и любая строка Священного писания. Разумеется, смертным не дано постичь божественную мудрость плана с той полнотой и ясностью, с какой она ведома самому Господу Богу, но люди могли смиренно и с подобающей скромностью по крайней мере пытаться приблизиться к божественному разуму и понять, как устроен мир.

Можно пойти дальше и утверждать, что математики XVI-XVIII вв. были уверены в существовании математических законов, лежащих в основе всех явлений природы, и настойчиво стремились найти их, ибо исходили из априорного убеждения, что Бог и эти законы включил в общую схему мироздания. Каждое открытие закона природы провозглашалось как еще одно свидетельство мудрости Бога, а не проницательности исследователя. Убеждения и взгляды математиков и естествоиспытателей распространились по всей Европе эпохи Возрождения. Незадолго до того обнаруженные работы греческих авторов противостояли глубоко религиозному христианскому миру, и духовные лидеры Возрождения, рожденные в одном мире, но тяготевшие к другому, слили учения обоих миров воедино.

Наряду с этим новым интеллектуальным увлечением стало приобретать все более широкую поддержку направление, основанное на идее «назад к природе». Многие естествоиспытатели отвергли нескончаемое умствование на основе догматических принципов, туманных по смыслу и оторванных от опыта, и обратились к самой природе как источнику подлинного знания. К началу XVII в. в Европе сложились предпосылки того, что нередко называют «научной революцией». Многие события способствовали или ускорили ее наступление: географические экспедиции открыли новые земли и народы; изобретение телескопа и микроскопа позволило обнаружить новые явления; компас облегчил навигацию в условиях открытого моря; гелиоцентрическая теория Коперника (см. гл. IV) заставила по-новому взглянуть на нашу планетную систему. Реформация пошатнула догмы католицизма. Математика вскоре снова стала играть главную роль — ключа к природе.

Бегло обозревая исторический фон, на котором происходило развитие европейской математики, мы стремились главным образом показать, что математика и применение ее к исследованию природы (основная тема последующих глав нашей книги) не возникли неожиданно, как гром среди ясного неба. Свое внимание мы сосредоточим не на элементарной математике, дающей средства для корректировки и расширения нашего знания о явлениях, в основном доступных нашим органам чувств, а на успехах, достигнутых математикой в открытии и описании явлений, либо не доступных непосредственному восприятию, либо вообще не воспринимаемых нами. При этом нам не понадобится постигать тонкости математических методов, но важно будет понять, каким образом математика позволяет описывать физические явления и получать знание о них.

Каковы существенные особенности математического метода? Первая отличительная особенность — введение основных понятий. Некоторые из таких понятий, например точка, линия и целое число, подсказаны непосредственно материальным, или физическим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий могут служить понятия отрицательного числа, буквенные обозначения классов чисел, комплексные числа, функции, всевозможные кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа, дифференциальные уравнения, матрицы и группы, многомерные пространства.

Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной (мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую интуитивную основу в физических явлениях. Но хотя производная и связана с физическим понятием скорости, ее в гораздо большей степени можно рассматривать как конструкцию, созданную разумом, причем на качественно совершенно ином уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.

На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу вызывали весьма настороженное отношение. Даже понятие отрицательного числа сначала было отвергнуто серьезными математиками. Тем не менее каждое новое понятие, хотя и неохотно, принималось после того, как становилась очевидной его полезность в приложениях.

Вторая существенная особенность математики — ее абстрактность. Платон в диалоге «Государство» так сказал о геометрах:

Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе, как мысленным взором.

([2], с. 318-319.)

Если математика должна быть могучей, то в одном абстрактном понятии она должна охватывать существенные особенности всех физических проявлений этого понятия. Например, математическая прямая должна включать в себя все наиболее значительные особенности туго натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых лучей.

В том, что математические понятия представляют собой абстракции, нетрудно убедиться на примере наиболее элементарного понятия — числа. Непонимание абстрактного характера этого понятия может приводить к недоразумениям. Поясним эту мысль на простом примере. Человек заходит в обувной магазин и покупает три пары обуви по 20 долл. за пару. Продавец говорит, что три пары обуви по 20 долл. за пару стоят 60 долл. и ожидает, что покупатель уплатит ему эту сумму. Покупатель же возражает, утверждая, что три пары по 20 долл. за пару — это 60 пар обуви, и настаивает, чтобы продавец приготовил 60 пар обуви. Прав ли покупатель? Прав, как прав и продавец. Если число пар обуви, умноженное на доллары, может давать доллары, то почему бы тому же произведению не давать пары обуви? Ответ, разумеется, состоит в том, что мы не умножаем туфли на доллары. Мы абстрагируем числа 3 и 20 из физической ситуации, умножаем одно число на другое, получаем число 60 и интерпретируем результат в соответствии с физической ситуацией.

Еще одна отличительная особенность математики — идеализация. Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная частица или траектория) к его идеальному образу.

Наиболее поразительной особенностью математики является используемый ею метод рассуждения. Основу его составляет набор аксиом и применение к этим аксиомам дедуктивного доказательства (вывода). Слово «аксиома» происходит от греческого «мыслить подобающим образом». Само понятие аксиомы — истины, столь самоочевидной, что она ни у кого не вызывает сомнения, — введено греками. Платоновское учение об анамнезисе утверждала, что люди обладают априорным знанием истин, почерпнутым их душами в объективном мире истин, и что аксиомы геометрии представляют собой воспоминания о некогда известных истинах. Аристотель во «Второй аналитике» упоминает об «общих [положениях], называемых нами аксиомами, из которых, как первичного, ведется доказательство» ([8], с. 200), истинность которых мы постигаем своей безошибочной интуицией. Если бы в доказательстве использовались какие-то факты, не известные нам как истины, то потребовалось бы дополнительное доказательство, которое устанавливало бы эти факты, и этот процесс пришлось бы повторять бесконечно. Аристотель также указывал на то, что некоторые понятия должны оставаться неопределяемыми, ибо в противном случае доказательство не имело бы начала. В наше время такие понятия, как точка и прямая, остаются неопределяемыми. Их значение и свойства зависят от аксиом, предписывающих свойства «точек» и «прямых».

Подобно тому как многие используемые в математике понятия изобретены человеческим разумом, аксиомы об этих понятиях изобретены с таким расчетом, чтобы понятия раскрывали те или иные стороны реальности. Например, аксиомы для отрицательных и комплексных чисел с необходимостью должны отличаться от аксиом для положительных чисел или последние должны по крайней мере допускать