Математика. Поиск истины.

действует в 60² раз слабее, чем на тело, находящееся вблизи земной поверхности, т.е. сила действия Земли на Луну составляет 1/(60)² от той силы, с которой она притягивает земные тела. Но это означает, что под действием земного притяжения Луна должна приближаться к Земле за 1 с на расстояние, равное 9,8/(60)² = 0,0027 м. Произведя некоторые численные тригонометрические расчеты, Ньютон обнаружил, что Луна действительно притягивается Землей силой «в точности надлежащей величины». Тем самым он получил весьма убедительное подтверждение своей гипотезы: все тела в мире притягиваются друг к другу по одному и тому же закону.

Более тщательные исследования Ньютона показали, что сила тяготения, действующая между любыми двумя телами, определяется формулой

F = kMm/r², (1)

где F — сила тяготения, M и m — массы тел, r — расстояние между ними, коэффициент k одинаков для всех тел. Например, M может означать массу Земли, m — массу какого-либо тела, находящегося вблизи поверхности Земли. В этом случае r — расстояние от центра Земли до тела. Формула (1) выражает закон тяготения.

Чтобы подвести прочную основу под все свое грандиозное исследование земных и небесных движений, Ньютон сформулировал в своих «Началах» три закона движения, известные ныне как законы Ньютона (хотя первые два закона были сформулированы еще Декартом и Галилеем). Первый закон Ньютона:

Всякое тело продолжает удерживаться в своем состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока и поскольку оно не понуждается приложенными силами изменять это состояние.

([19], с. 39.)

Второй закон Ньютона:

Изменение количества движения пропорционально приложенной движущей силе и происходит по направлению той прямой, по которой эта сила действует.

([19], с. 40.)

Результирующую всех действующих на тело сил можно представить в виде произведения массы тела на ускорение, создаваемое этой силой:

F = ma.

Ускорение характеризует увеличение или уменьшение скорости тела либо изменение ее направления. (Математически F и a — векторы.)

Третий закон Ньютона:

Действию всегда есть равное и противоположное противодействие, иначе — взаимодействия двух тел друг на друга между собою равны и направлены в противоположные стороны.

([19], с. 41.)

К этим трем законам Ньютон добавил закон всемирного тяготения (1). Применительно к движениям планет этот закон был открыт Робертом Гуком, но Ньютон обобщил его и возвел в ранг универсального закона, применимого ко всем телам во Вселенной.

Получив некоторые подтверждения справедливости закона всемирного тяготения, Ньютон показал далее, что этот закон применим к движениям на поверхности Земли или вблизи нее. И здесь ему помогли труды Галилея. Перейдем на язык формул. Пусть M — масса Земли, m — масса тела, находящегося вблизи земной поверхности. Записав формулу (1) в виде F = kMm/r² и разделив обе части на m, получим

F/m = kM/r². (2)

Независимо от того, какое тело вблизи поверхности Земли мы рассматриваем, величины, входящие в правую часть формулы (2), остаются неизменными, так как r — радиус Земли (~6400 км), M — масса Земли, а постоянная k одинакова для всех тел.

Но второй закон Ньютона утверждает, что любая сила, действующая на тело массой m, сообщает этому телу ускорение. В частности, сила притяжения Земли, действующая на тело, также сообщает ему ускорение. Из второго закона Ньютона следует, что любая сила F связана с вызванным ею ускорением соотношением F = ma, или

F/m = a. (3)

Следовательно, если сила F в формуле (2) есть сила земного тяготения, то правые части формул (2) и (3) можно приравнять, так как левые части равны. В результате получаем

а = kM/r².

Это соотношение означает, что ускорение, сообщаемое телу силой земного тяготения, всегда равно kM/r². Поскольку k — постоянная, M — масса Земли, r — расстояние от тела до центра Земли, величина kM/r² одинакова для всех тел, находящихся вблизи поверхности Земли. Следовательно, все тела вблизи поверхности Земли падают с одинаковым ускорением. Именно к такому выводу пришел на основании своих опытов Галилей. Более того, опираясь на этот результат, Галилей математически доказал, что все тела, падающие с одинаковой высоты, достигают поверхности Земли за одно и то же время. Ускорение свободного падения, которое принято обозначать буквой g, легко измерить: оно равно 9,8 м/с².

Несколько уклоняясь от нашей главной темы, заметим, что, согласно третьему закону Ньютона, для каждой силы (действия) всегда существует равная по величине и противоположно, направленная сила (противодействие). Следовательно, если Солнце действует на Землю с силой, удерживающей нашу планету на ее околосолнечной орбите, то Земля в свою очередь должна действовать на Солнце с равной по величине и противоположной по направлению силой. Значит, Солнце под действием этой силы должно двигаться, между тем оно покоится! Разгадку этого «парадоксу» дают несложные вычисления, подобные проделанным Ньютоном. Если m — масса Земли, M — масса Солнца, то сила взаимного притяжения между ними равна

F = kMm/r².