превосходным методом исследования открытия и описания физических явлений. В некоторых областях физики математика, как мы узнали, составляет самую суть нашего понимания физического мира. Даже если математические структуры сами по себе не отражают реальности физического мира, их тем не менее можно считать единственным ключом к познанию реальности. Неевклидова геометрия не только не уменьшила ценности математики в этом отношении и не подорвала доверия к ее результатам, но, напротив, как это ни парадоксально, способствовала расширению ее приложений, ибо математики, почувствовав большую свободу в исследовании радикально новых идей, обнаружили, что некоторые из них вполне применимы во многих областях человеческой деятельности. Роль математики в «упорядочении» окружающего мира и овладении природой начиная с 30-х годов XIX в. возрастала невероятно быстрыми темпами. Кроме того, со времен Ньютона существенно увеличилась также точность, с которой математики могли описывать и предсказывать явления природы.
Мы сталкиваемся здесь с явно парадоксальной ситуацией. Область знания, не претендующая более на роль носителя истины, подарила нам прекрасно согласующуюся с повседневным опытом евклидову геометрию, необычайно точную гелиоцентрическую теорию Коперника и Кеплера, величественную и всеохватывающую механику Галилея, Ньютона, Лагранжа и Лапласа, физически необъяснимую, но имеющую весьма широкую сферу приложений теорию электромагнетизма Максвелла, теорию относительности Эйнштейна с ее тонкими и необычными выводами и позволила многое понять в строении атома. Все эти блестящие достижения опираются на математические идеи и математические рассуждения. Быть может, в отрасли знания, о которой идет речь, все-таки заключена некая магическая сила, позволившая ей одержать столько побед, хотя сражалась она под непобедимым знаменем истины?
Эта проблема неоднократно привлекала к себе большое внимание, в частности, Альберта Эйнштейна, который не раз касался ее в своих статьях, посвященных общефилософским вопросам естествознания:
В этой связи возникает вопрос, который волновал исследователей всех времен. Почему возможно такое превосходное соответствие математики с реальными предметами, если сама она является произведением только человеческой мысли, не связанной ни с каким опытом? Может ли человеческий разум без всякого опыта, путем одного только размышления понять свойства реальных вещей?
Эйнштейн понимал, что аксиомы математики и принципы логики выведены из опыта, но его интересовало, почему следствия, вытекающие из созданных человеком аксиом и принципов, так хорошо согласуются с опытом.
На вопрос «Почему математика «работает»?» было предложено несколько различных ответов. Некоторые полагают, будто математики «подбирают» аксиомы так, чтобы выводимые из них следствия согласовывались с опытом. Эту идею впервые высказал Дидро в своей работе. «Мысли об интерпретации природы» (1753). Великий мыслитель сравнивал математика с игроком. И тот и другой играют, придерживаясь ими же придуманных абстрактных правил. И тот и другой сосредоточивают свои помыслы на исследовании некоего условного предмета, рожденного принятыми соглашениями и не имеющего основы в реальности. Столь же критическую позицию занимал и Бернар Ле Бовье де Фонтенель (1657-1757). Оспаривая убеждение в незыблемости законов движения небесных тел, он довольно язвительно заметил, что «на памяти» роз ни один садовник никогда не умирал.
Подобным образом действуют и создатели современных математических моделей. Берется одна из возможных моделей и сверяется с опытом. Если модель оказывается неадекватной, то в нее вносят надлежащие изменения. Тем не менее возможность вывести из одной модели сотни теорем, хорошо согласующихся с опытом, т.е. применимых к реальности, так или иначе поднимает вопрос, ответить на который не так-то легко.
Ныне предлагается и совершенно другое объяснение «эффективности» математики. Оно восходит к Канту, который, правда, изложил его в несколько иной форме. Кант утверждал, что мы не знаем и не можем знать природу. Мы ограничены чувственными восприятиями, но наш разум, наделенный предустановленными структурами (по терминологии Канта «интуитивными суждениями») пространства и времени, организует эти чувственные восприятия в соответствии с тем, что диктуют присущие ему врожденные структуры. Например, наши пространственные восприятия мы организуем в соответствии с законами евклидовой геометрии потому, что этого требует наш разум. Будучи организованными таким образом, пространственные восприятия и в дальнейшем подчиняются законам евклидовой геометрии. (Отстаивая евклидову геометрию как единственно возможную геометрию реального мира, Кант, как мы теперь знаем, заблуждался.) Иначе говоря, мы видим только то, что позволяет видеть наша математическая «оптика». По мнению Канта, «всеобщие и необходимые законы опыта принадлежат не самой природе, а только разуму, который вкладывает их в природу».
Физик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951), как и многие его коллеги, считал идею предписывания законов природы человеческим разумом вопиющим примером человеческого высокомерия, но Артур Стенли Эддингтон (1882-1944) вполне разделял идею Канта:
…Там, где наука ушла особенно далеко в своем развитии, разум лишь получил от природы то, что им было заложено в природу. На берегах неизвестного мы обнаружили странный отпечаток. Чтобы объяснить его происхождение, мы выдвигали одну за другой остроумнейшие теории. Наконец, нам все же удалось восстановить происхождение отпечатка. Увы! Оказалось, что это наш собственный след.
Эддингтон пришел к выводу, что мир человеческого опыта есть по существу творение нашего разума и что, если бы мы только могли понять, как «работает» разум, нам удалось бы вывести всю физику (а быть может, и все естествознание) — за исключением некоторых констант, зависящих от того, в какой части Вселенной нам случилось оказаться, — чисто теоретическими методами.
Жюль Анри Пуанкаре (1854-1912) предложил еще одно объяснение, в значительной мере выдержанное в духе Канта, хотя теперь взгляды Пуанкаре получили название «конвенционализм». В «Науке и гипотезе» Пуанкаре говорит следующее [29]:
Можно ли утверждать, что некоторые явления, возможные в евклидовом пространстве, были невозможны в неевклидовом, так как опыт, констатируя эти явления, прямо противоречил бы гипотезе о неевклидовом пространстве? По моему мнению, подобный вопрос не может возникнуть…
Опыт играет необходимую роль в происхождении геометрии; но было бы ошибкой заключить, что геометрия — хотя бы отчасти — является экспериментальной наукой.
Если бы она была экспериментальной наукой, она имела бы только временное, приближенное — и весьма грубо приближенное! — значение. Она была бы только наукой о движении твердых тел. Но на самом деле она не занимается реальными твердыми телами; она имеет своим предметом некие идеальные тела, абсолютно неизменные, которые являются только упрощенным и очень отдаленным отображением реальных тел.
Понятие об этих идеальных телах целиком извлечено нами из недр нашего духа, и опыт представляет только повод, побуждающий нас его использовать…
Опыт направляет нас при этом выборе [среди всех возможных групп перемещений той, которая служила бы
Поскольку невозможно указать конкретный опыт, который мог бы быть истолкован в евклидовой
