разбиение плоскости. Например, рассмотрим Г-образную фигуру, «реп-плиточность» которой доказал, решив первую задачу, Рэнсом. Сложенные вместе, четыре такие фигуры образуют новую Г-образную фигуру, которая в 4 раза больше исходной. Из четырех новых фигур в свою очередь можно составить еще большую Г-образную фигуру. Этот процесс можно продолжать сколь угодно долго и выложить Г-образными фигурами все возрастающих размеров бесконечную плоскость. Неограниченно долго можно продолжать не только составление все более крупных Г-образных реп-плиток, но и разрезание их на все более мелкие фигуры.
О реп-плитках мы знаем немного. Все известные pen-плитки помимо непериодического разбиения плоскости порождают еще и периодическое разбиение плоскости, то есть позволяют выложить ими всю плоскость так, что, подвергая фундаментальную область узора только параллельным переносам без поворотов и отражений, ею можно покрыть всю плоскость. Существует ли реп-плитка, порождающая только непериодическое разбиение плоскости? Этот трудный вопрос теории разбиений остается пока без ответа.
Еще меньше известно об объемных реп-плитках. К числу их заведомо принадлежит куб, так как из 8 кубов можно составить 1 куб большего размера так же, как из 4 квадратов можно сложить 1 квадрат побольше. Можете ли вы назвать еще какие-нибудь объемные реп-плитки?
Если конгруэнтные части по форме не должны повторять составленную из них фигуру, то возможности для придумывания задач-головоломок расширяются. Например, Т-образная фигура на рис.
Разрезание плоскости фигуры даже на две конгруэнтные части может оказаться трудной задачей. На рис.
Еще один интересный класс задач на разрезание образуют задачи на разрезание одного заданного многоугольника на наименьшее число частей любой формы, из которых можно составить другой заданный многоугольник. Например, на сколько частей достаточно разрезать квадрат, чтобы из них можно было составить равносторонний треугольник? (На 4 части.) Наиболее полно теория разбиений и весь круг вопросов, связанных с разрезанием, изложен в книге Гарри Линдгрена «Занимательные задачи на разрезание»[4].
Мисс Евклид и ее кубики
Мисс Евклид поставила на кафедру большой деревянный куб.
Пока класс трудился над ответом на первый вопрос, мисс Евклид провела на двух гранях куба диагонали, проходящие через общую вершину.
Прежде чем задать свой третий вопрос, мисс Евклид положила на верхнюю грань куба линейку.
На сколько вопросов мисс Евклид вы смогли бы ответить? Я смог ответить на 2 из 3 вопросов.
Существует ли общий метод, позволяющий распилить любой прямоугольный параллелепипед с целочисленными длинами ребер на единичные кубы при минимальном числе разрезов (части параллелепипеда разрешается переставлять)? Да, такой метод существует и заключается в следующем. Рассмотрим 3 разных куба, длины ребер которых равны длине, ширине и высоте параллелепипеда. Для каждого куба определим минимальное число разрезов, которые необходимо провести, чтобы разделить его на слои единичной толщины. Для этого проведем плоский разрез перпендикулярно ребру куба через целую точку, расположенную как можно ближе к середине ребра (если в длине ребра укладывается четное число единиц, то распил делит ребро пополам; если же в длине ребра укладывается нечетное число единиц, то распил проходит на расстоянии половины единицы длины от середины ребра), переложим полученные части и будем повторять всю процедуру до тех пор, пока весь куб не распадется на слои единичной толщины. Сумма трех минимумов (по одному для каждого ребра) даст нам ответ задачи.
Например, чтобы распилить на единичные кубики прямоугольный параллелепипед 3?4?5, необходимо провести 7 плоских разрезов: 2 для ребра 3, 2 для ребра 4 и 3 для ребра 5. Доказательство этого алгоритма было впервые опубликовано в журнале Mathematics Magazine в 1952 г.
Три диагонали образуют равносторонний треугольник. Так как каждый из углов равностороннего треугольника равен 60°, то и угол между проведенными мисс Евклид диагоналями равен 60°.
Вторая задача мисс Евклид допускает изящное обобщение. Предположим, что мисс Евклид провела на поверхности куба две прямые, соединяющие середины
Решение задачи находим по аналогии с предыдущим решением. Прежде всего соединим отрезками прямых середины ребер на четырех остальных гранях так, чтобы все шесть отрезков образовали замкнутую ломаную. Ясно, что все шесть отрезков имеют одинаковую длину и углы между любыми двумя смежными отрезками также одинаковы. Следовательно, если бы нам удалось доказать, что все шесть вершин ломаной лежат в одной плоскости, то мы могли бы утверждать, что наша шестизвенная замкнутая ломаная имеет форму правильного шестиугольника. Доказать нужное нам утверждение нетрудно, но в его справедливости вы можете убедиться экспериментально, распилив деревянный куб на две половинки вдоль плоскости, проходящей через середины шести ребер.
