Ильич поставил кружки на стол. Мы отхлебнули.
Мой друг опять уселся в позе полной расслабленности, как будто собирался слушать меня часа три как минимум.
– Пуанкаре пытается понять, как работает математик, и не придумывает ничего умнее, чем проанализировать собственный опыт. Он вспоминает, как искал решение задачи, которая потом привела к созданию теории автоморфных функций. Две недели он каждый день садился к столу и пытался над ней размышлять, и ничего у него не получалось. Однажды вечером он выпил чашку кофе – против своего обыкновения – и не смог уснуть. И всю ночь сидел и думал. Он чувствовал, как идеи теснятся и сталкиваются в его голове. Они как будто делали это самостоятельно, без его сознательного вмешательства. Но под утро он нашел одно частное решение. Потом он был вынужден внешними обстоятельствами оторваться от своих занятий и поехал куда-то по своим неотложным делам – наверное, пива попить. То есть он перестал вроде бы думать о проблеме. И вот в тот момент, когда он садился в автобус, вдруг моментально понял, что вся городуха, которую он выстраивал, – это в точности модель геометрии Лобачевского на плоскости. Его удивила красота решения и его мгновенность. Причем он не проверял догадку – он был уверен, что она верна, и продолжил прерванный на минуту разговор.
Дальше я прочитаю: “В то время я занялся изучением некоторых вопросов теории чисел, не получая при этом никаких существенных результатов и не подозревая, что это может иметь хоть малейшее отношение к прежним исследованиям”.
Пуанкаре всегда занимался целой толпой разнообразных задач из самых разных областей науки, он вполне мог заняться и какой-нибудь другой проблемой, но почему-то выбрал именно эту.
“Разочарованный своими неудачами, я поехал провести несколько дней на берегу моря и думал совсем о другой вещи. Однажды, когда я прогуливался по берегу, мне так же внезапно, быстро и с той же мгновенной уверенностью пришла на ум мысль, что арифметические преобразования квадратичных форм тождественны преобразованиям неевклидовой геометрии”.
Бац! И наверное, не случайно, что это именно геометрия Лобачевского, – наглядная интуиция часто проясняет суть дела. Дальше пошло веселее. Он решал одну за другой возникающие по ходу рассуждений задачи, но потом опять остановился – ему не хватало последнего, завершающего обобщения. И тут его очень кстати призвали в армию. Служба, хоть и отвлекала его от математики, по-видимому, не была слишком обременительной – и “во время прогулки по бульвару мне вдруг пришло в голову решение этого трудного вопроса, который меня останавливал. Я не стал пытаться вникать в него немедленно и лишь после окончания службы вновь взялся за проблему. У меня были все элементы, и мне оставалось лишь собрать их и привести в порядок. Поэтому я сразу и без всякого труда полностью написал эту работу”.
Дальше Пуанкаре анализирует свои наблюдения. И приходит к весьма любопытным выводам. Причем Адамар, который подробно разбирает его эссе, с ним полностью согласен – его собственный опыт также подтверждает выводы Пуанкаре. Математическое творчество как бы сводится к двум этапам. Или, более точно, к трем, хотя функционально первый и третий похожи. Первый – это вполне сознательная работа. Освоение проблемы, анализ подходов. Разбор возможных вариантов. На этом этапе происходит то, что можно назвать постановкой проблемы, приходит понимание того, что же мы на самом деле ищем.
Но в какой-то момент математик упирается в стену. Решения нет. Проблема успешно отражает все атаки. Здесь нужно нечто большее, чем простой перебор вариантов. И тогда сознание отключается. Человек засыпает, или идет слегка послужить в армии, или гуляет по берегу моря. И начинает работать подсознание. То полубодрствование после чашечки кофе, которое описывает Пуанкаре, он называет подглядыванием за своим подсознанием. Но такое полубессознательное состояние неполноценно. Нужно действительно прервать работу. Действительно сделать шаг в сторону. Отпустить себя на волю. Нужно, чтобы проявились странные сближения. И именно в такие моменты Пуанкаре посещает геометрическая интуиция – неевклидова геометрия, которая, конечно, очень далека от квадратичных форм, которыми занимается Пуанкаре сознательно. Но ее появление приводит к тому, что все вдруг смыкается и появляется язык описания. Пуанкаре пишет, что открытие приходит мгновенно, вдруг – и никаких сомнений в правильности решения нет, и эта правильность потом подтверждается, правда не всегда.
Фактически подсознание работает автономно, и работает совсем не так, как сознание: оно не перебирает варианты один за другим, а как бы сразу пробегает по всему полю сближений и притягивает далекие области, которых слишком много, чтобы с ними рискнул работать сознательный перебор.
Пуанкаре пишет: “Есть еще одно замечание по поводу условий этой бессознательной работы: она возможна или, по крайней мере, плодотворна лишь в том случае, когда ей предшествует и за ней следует сознательная работа. Приведенный мной пример подтверждает в достаточной мере, что эти внезапные вдохновения происходят лишь после нескольких дней сознательных усилий, которые казались абсолютно бесплодными, когда предполагаешь, что не сделано ничего хорошего, и когда кажется, что выбран совершенно ошибочный путь. Эти усилия, однако, не являются бесполезными, как это думают; они пустили в ход бессознательную машину, без них она не пришла бы в действие и ничего бы не произвела.
Необходимость второго периода сознательной работы после озарения еще более понятна. Нужно использовать результаты этого озарения, вывести из них непосредственные следствия, привести в порядок, отредактировать доказательство. Но особенно необходимо их проверить. Я вам уже говорил о чувстве абсолютной уверенности, которое сопровождает озарение; в рассказанных случаях оно не было ошибочным, и чаще всего так и бывает; но следует опасаться уверенности, что это правило без исключения; часто это чувство нас обманывает, не становясь при этом менее ярким, и заметить это можно лишь при попытке строго сознательно провести доказательство. Особенно я наблюдал такие факты в случае, когда идеи приходят в голову утром или вечером в постели, в полусознательном состоянии”.
Обрати внимание, что он говорит: сознательные усилия “пустили бессознательную машину” – именно машину, то есть подсознание работает как некий внутренний процессор, для которого уже подготовлены данные. А дальше следует процесс измерения результата. Но, в отличие от классического компьютера, результат получается только с некоторой вероятностью, иногда он бывает ложным, поэтому так важна сознательная проверка, несмотря на то что ощущение настоящего озарения сопровождает и “истинное” и “ложное” открытие.
Подсознание производит огромную работу, но потом изо всех этих сталкивающихся идей нужно выбрать верную. На основании какого критерия происходит выбор? Этот критерий Пуанкаре называет “чувством математической красоты”.
“Несомненно, что комбинации, приходящие на ум в виде внезапного озарения после достаточно длительной бессознательной работы, обычно полезны и глубоки, как будто они прошли уже первый отбор. Значит ли это, что подсознание образовало только эти комбинации интуитивно, догадываясь, что лишь они полезны, или оно образовало и многие другие, которые были лишены интереса и остались неосознанными?
При этой второй точке зрения все комбинации формируются механизмом подсознания, но в поле зрения сознания попадают лишь представляющие интерес. Но и это еще очень непонятно. Каковы причины того, что среди тысяч результатов деятельности нашего подсознания есть лишь некоторые, которые призваны пересечь его порог, в то время как все прочие остаются по ту сторону? Не просто ли случай дает им эту привилегию? Конечно нет. К примеру, среди всех ощущений, действующих на наши органы чувств, только самые интенсивные обращают на себя наше внимание, по крайней мере, если это внимание не обращено на них по другим причинам. В более общем случае среди бессознательных идей привилегированными, то есть способными стать сознательными, являются те, которые прямо или косвенно наиболее глубоко воздействуют на наши чувства.
Может вызвать удивление обращение к чувствам, когда речь идет о математических доказательствах, которые, казалось бы, связаны только с умом. Но это означало бы, что мы забываем о чувстве математической красоты, чувстве гармонии чисел и форм, геометрической выразительности. Это настоящее эстетическое чувство, знакомое всем настоящим математикам. Воистину, здесь налицо чувство!
Еще бы не знакомо, из-за этого чувства красоты, помнится, мы чуть не передрались на барабашевском кружке.
“Но каковы математические характеристики, которым мы приписываем свойства красоты и изящества и которые способны возбудить в нас своего рода эстетическое чувство? Это те элементы, которые гармонически расположены таким образом, что ум без усилия может их охватывать целиком, угадывая
