незаслуженно заняло место физико-философского принципа причинности. Почему это произошло?
Непрерывность и причинность
Я много лет пиджак ношу,
Давно потерся и не нов он.
И я зову к себе портного
И перешить пиджак прошу
Теперь перейдем к разбору сути эссе Р. И. Пименова. Оно посвящено обсуждению применимости традиционного математического аппарата к физической природе вещей.
Аппарат этот чрезвычайно сложен. Но, вслед за Р. И. Пименовым, нас будет интересовать «дифференциально-топологический этаж» математического здания. О дифференциале было сказано выше. Теперь рассмотрим еще два математических понятия —
В «Большом толковом словаре современного русского языка» Д. Н. Ушакова дано такое определение: «ТОПОЛОмГИЯ, топологии, мн. нет,
Важно отметить, что современная топология имеет дело не только с геометрическими множествами (линиями, фигурами, телами), но и с любыми множествами.
Конкретизируя математические абстракции, можно отметить, что очень богато топологиями, например, множество живущих на Земле людей — человечество. Расы, языки, темпераменты, ментальности, профессии и многие другие виды общностей могут являться конкретными топологическими принципами объединения людей в реальные целостные подмножества.
В математике топология занимается изучением в самом общем виде проявлений непрерывности пространства, т. е. его свойств, которые остаются неизменными при непрерывных деформациях — изгибах, растяжениях, сжатиях, скручивании и т. п.
В отличие от метрических геометрий, в топологии не рассматриваются свойства объектов, характеризующиеся расстоянием между парой элементов (точек). И топологически эквивалентными оказываются, например, куб и сфера. Надуйте резиновый куб, и он превратится в сферу!
Теперь о гладкости — «главном герое» эссе Р. И. Пименова. Вот как характеризует он современное понимание гладкости в математике: «…дифференциальная топология установила, что гладкость является совершенно самостоятельным объектом, НЕ ВЫВОДИМЫМ и НЕ СВОДИМЫМ ни из, ни к другим конструкциям».
Дифференциальная топология — это раздел топологии, основанный на аппарате дифференциального исчисления. И именно аксиомы математического анализа (прежде всего, существование бесконечно малых величин и их свойства) и являются основаниями для описания гладкости пространства.
Здесь хотелось бы предупредить читателя от одного распространенного заблуждения. Пространство в математике и физике — это не «бесструктурная и бесформенная пустота». В математике у пространства есть две обязательные характеристики — размерность и метрика. Размерность определяется по числу независимых характеристик (измерений), которые необходимы, чтобы определить точку в этом пространстве. А метрика — это способ задания расстояний между точками пространства. Например, две точки на шаре разделены расстоянием, которое может измеряться «по прямой» (в земных условиях — это прямой туннель из, скажем, Москвы до Иерусалима), а может — по «геодезической», которая равна кратчайшему маршруту самолета на этой трассе.
Чаще всего рассматривают и обсуждают обычное евклидово пространство n измерений. (Напомню, что евклидовыми называют те пространства, расстояния между точками которых измеряются так, как мы определили для «прямого туннеля» — по теореме Пифагора). И, если не оговаривается особо, то по умолчанию принимают n = 3. Чаще просто потому, что мы считаем «наше физическое пространство» трехмерным евклидовым. Но после открытия неевклидовых геометрий и гиперкомплексных чисел в поле зрения математики попали и многие другие пространства, и сегодня их со всеми вариациями и обобщениями существует, вероятно, не меньше, «чем Донов Педров в Бразилии».
Если отвлечься от математического «птичьего языка», то гладкость можно и не определять. Она «дана нам в ощущении» даже в отсутствие зрения, просто «на ощупь». Того же мнения о сущности гладкости придерживается и известный космолог Брайан Грин: «Понятие “гладкости” имеет конкретный математический смысл, но общеупотребительное значение слова “гладкость” хорошо передает суть этого понятия: гладкий — значит без складок, без проколов, без отдельных “нагроможденных” друг на друга кусков, без разрывов. Если бы в структуре пространства существовали такие нерегулярности, уравнения общей теории относительности нарушались бы, оповещая о космической катастрофе того или иного рода: зловещая перспектива, которую наша Вселенная благоразумно обходит».
Обратим внимание — Б. Грин говорит здесь о гладкости
Итак, существование дифференциала порождает гладкость во всех геометриях. А гладкость порождает причинность.
Все ли в этом мире гладко?
Кому-то стало дурно,
Казалось, жуть минуты
Простерлась от Кинбурна
До хуторов и фольварков
За мысом Тарканхутом.
Математический аппарат дифференциального исчисления, основанный на представлении гладкости пространства, использовался и используется физиками для описания реальности во всех ее масштабах: от микромира стандартной квантовой механики с ее уравнениями Шредингера и Дирака, до макромира и даже всего универса в СТО и ОТО Эйнштейна, во всех мыслимых диапазонах скоростей и масс взаимодействующих тел.
Что из всего этого следует? Р. И. Пименов пишет: «…Сложившуюся ситуацию вроде можно было бы описать такими словами: фактически для оправдания как парадигмы дифференциальных уравнений, так и парадигмы детерминированности, использовался НЕЯВНЫЙ ПОСТУЛАТ о выделенности гладких движений».
Почему «парадигма детерминированности» или, другими словами, «стрела времени», попала в один ряд с парадигмой дифференциальных уравнений? Это стало неизбежным в начале XX века, когда физики осознанно ввели новый конструкт — «пространство-время», в котором время объединялось с пространством посредством особой метрики Минковского. И с тех пор детерминизм — однозначная связь прошлого с
