Программирование игр и головоломок

— целое. Мы показали, что такой пары (p, q) нет.

Головоломка 10.

9*АВСДЕ + АВСДЕ = 10*АВСДЕ, что можно записать как АВСДЕ0. Отсюда получаем зашифрованное сложение:

FGHIJ + ABCDE = ABCDE0

Это показывает, что A = 1. Далее, J + E не может быть нулем, следовательно, J + Е = 10 и для I есть кое-что «в уме». Сумма F + A дает AB с A = 1, так что сумма F + 1, к которой, может быть, добавлено что-то «в уме», должна дать число, большее 9. Это может быть только в случаях 1 + 8 + 1 = 10, 9 + 1=10 или 1 + 9 + 1 = 11. Но, так как B ? A, то B = 0.

Тогда в сумме G + B рассмотрим цифру C как цифру единиц. Так как В = 0, то это означает, что для G «в уме» кое-что есть (потому что G ? С).

Отсюда получаем схему операции сложения:

Запишем, что A + B + C + D + E + F + G + H + I + J = 45,

А = 1, B = 0.

Запишем пять операций сложения с учетом переносов в старший разряд:

J + E = 10,

1 + I + D = 10k + E,

k + H + C = 10 + D,

1 + G + В = 10k' + С,

k' + F + A = 10.

Сложим их все. Вам остается

C + D + E = 17 ? 9 (k + k').

Но С + D + E не может быть меньше, чем 2 + 3 + 4 = 9, и не может быть больше, чем 6 + 7 + 9 (если F = 8 и k' = 1). Не может быть, чтобы у вас одновременно выполнялись соотношения k = k' = 1 (что давало бы отрицательную сумму С + D + E). Но не может быть и равенства k + k' = 1, так как тогда было бы С + D + E = 17 ? 9 = 8, что слишком мало. Следовательно, k = k' = 0. Составим окончательную систему

J + E = 10,

I + D + 1 = E,

H + C = 10 + D,

G + 1 = С,

F = 9.

Закончите вы с помощью программы.

Головоломка 11.

Обозначим через a_i цифры исходного числа, b_i — цифры результата, k_i — цифры «в уме»:

3a_i + k_i = b_i + 10k_{i +1}.

Сумма всех a_i равна 45, как и сумма всех b_i. Обозначим через K сумму всех k_i:

3*45 + K = 45 + 10*K дает К = 10.

Мы знаем, что дает «в уме» каждая цифра:

1 дает 0, 2 дает 0, 3 дает 0 или 1 в зависимости от того, что хранится «в уме» над 3.

4 дает 1, 5 дает 1, 6 дает 1, потому что не может случиться 3*6 + 2, что давало бы «в уме» 2, но цифру единиц 0;

7, 8 и 9 дают 2.

Для того, чтобы сумма величин «в уме» была равна 10, нужно, чтобы 3 давало 1 «в уме». Так как 3*3 + 1 (с цифрой единиц, равной 0) случиться не может, то нужно, чтобы «в уме» над 3 было 2. Следовательно, 3 стоит слева от 7, 8 или 9. В частности, 3 не может стоять на правом конце.

Остальное просто, если вы будете следовать методу, указанному в разделе «Условия». Вот таблица:

Потребуем, чтобы 9 было справа; следовательно, вычеркнем 9 из этой таблицы, оставив его только в столбце, соответствующей тому, что «в уме» 0. Цифра 3 требует 2 «в уме», чтобы дать 1. Вычеркнем остальные 3 в таблице. Цифра 9 не может быть получена иначе как с помощью 6 и 1 «в уме». Другие 6 вычеркиваем. Цифра 8 получается из 2 при 2 «в уме». Нужно взять 3 числа в первом столбце, так что нужно еще одно не равное ни 2, ни 3. Их нужно 4 в среднем столбце, так что нужно еще 3 числа, ре равных 6, которые нужно взять среди цифр 7, 4, 1, 8, 5. Два последних числа должны быть взяты из столбца с нулем «в уме». Когда эти числа среди всех возможных будут выбраны, останется расположить их в соответствии с тем, что должно быть для них «в уме». Эту программу сделать легко.

Головоломка 12.

Если число a₁a₂… a_p (представленное как последовательность цифр) кратно 3, то и a₁ + а₂ + … + a_p кратно 3. Сумма кубов цифр равна

a₁³ + а₂³ + … + a_p³.

Нужно показать, что это число также кратно 3. Действуйте по индукции по числу слагаемых. Предположим, что для p = n ? 1 членов

a₁³ + а₂³ + … + a_p³ = (a₁ + … + a_p)³ по модулю 3; тогда равенство

(a₁ + … + a_p + a_n)³ = (a₁ + … + a_p)³ +