Шехеразады. Вы, вероятно, и не подозревали, что в самом названии сборника волшебных арабских сказок заключается также своего рода чудо, которое могло бы поразить воображение сказочного султана не менее многих других чудес Востока, если бы он способен был интересоваться арифметическими диковинками. Чем же так замечательно число 1001? С виду оно кажется весьма обыкновенным. Оно даже не принадлежит к избранному разряду так называемых простых чисел: через ячейки Эратосфенова решета оно свободно проскользнуло бы, так как делится без остатка на 7, на 11 и на 13 – на три последовательных простых числа, произведением которых оно и является. Но в том, что число 1001 = 7 × 11 × 13, нет еще ничего волшебного. Гораздо замечательнее то, что при умножении на него трехзначного числа получается результат, состоящий из умноженного числа только написанного дважды: например, 873 × 1001 = 873873; 207 × 1001 = 207207 и т. д. И хотя этого и следовало ожидать, так как 873 × 1001 = 873 × 1000 + 873 = 878000 + 873, – все же, пользуясь указанным свойством числа Шехеразады, можно достичь результатов, совсем неожиданных, – по крайней мере, для человека неподготовленного.
А именно: целое общество непосвященных в арифметические тайны гостей вы можете поразить следующим фокусом. Пусть кто-нибудь напишет на бумажке, секретно от вас, какое хочет трехзначное число и затем пусть припишет к нему еще раз то же самое число. Получится шестизначное число, состоящее из трех повторяющихся цифр. Предложите тому же товарищу или его соседу разделить – по-прежнему секретно от вас – это число на 7, причем вы заранее предсказываете, что остатка не получится. Результат деления передается соседу, который по вашему предложению делит его на 11; и хотя вы не знаете делимого, вы все же смело утверждаете, что и оно разделится без остатка. Полученный результат вы просите передать следующему соседу, которого просите разделить это число на 13 – деление снова выполняется без остатка, о чем вы заранее предупреждаете. Результат третьего деления вы, не глядя на полученное число, вручаете первому товарищу со словами:
– Вот число, которое вы задумали!
Этот красивый арифметический фокус, производящий на непосвященных впечатление волшебства, объясняется очень просто: вспомните, что приписать к трехзначному числу его само значит умножить его на 1001, т. е. на произведение 7 × 11 × 13. Шестизначное число, которое ваш товарищ получит после того, как припишет к задуманному числу его само, должно будет поэтому делиться без остатка и на 7, и на 11, и на 13, а после деления последовательно на эти три числа (т. е. на их произведение – 1001) должно снова дать первоначальное число.
Не вправе ли мы после сказанного приравнять число Шехеразады к тем чудесам волшебных арабских сказок, которым мы дивились в детстве? Разница лишь в том, что арифметическое чудо имеет естественное объяснение, а чудеса Востока непостижимы, – да еще и в том, что наше чудо действительно существует, а чудеса волшебных сказок вымышлены…
Число 10101
После сказанного о числе 1001
Можно ли проделывать с помощью этого числа фокусы необычайного отгадывания, как с помощью числа 1001? Конечно, и здесь даже возможно обставить фокус эффектнее, разнообразнее, если иметь в виду, что 10101 есть произведение четырех простых чисел:
10101 = 3 × 7 × 13 × 37.
Предложив первому гостю задумать какое-нибудь двузначное число, вы предлагаете второму приписать к нему то же число, а третьего приписать то же число еще раз. Четвертого гостя вы просите разделить получившиеся шестизначное число, например, на 7; пятый гость должен разделить полученное частное на 3; шестой гость делит то, что получилось, на 37, и, наконец, седьмой делит этот результат на 13, – причем все 4 деления выполняются без остатка. Результат последнего деления вы просите передать первому гостю: это – задуманное им число.
При повторении фокуса вы можете внести в него некоторое разнообразие, обращаясь каждый раз к новым делителям. А именно, вместо множителей 3 × 7 × 13 × 37 можете взять следующие группы множителей: 21 × 13 × 37; 7 × 39 × 37; 3 × 91 × 37; 7 × 13 × 111.
Число это – 10101 – пожалуй, даже удивительнее волшебного числа Шехеразады, хотя и менее известно своими поразительными свойствами, нежели 1001. А между тем о нем писалось еще двести лет тому назад в «Арифметике» Магницкого, в той главе, где приводятся примеры умножения «с некоим удивлением». Тем с большим основанием должны мы включить его в наше собрание арифметических диковинок.Шесть единиц
В соседней витрине мы видим другую диковинку арифметической консткамеры, число
111111 = 111 × 1001.
Но 111 = 3 × 37, а 1001 = 7 × 11 × 13. Отсюда следует, что наш новый числовой феномен, состоящий из одних лишь единиц, представляет собою произведение пяти простых множителей. Соединяя же эти 5 множителей в две группы на всевозможные лады, мы получаем 15 пар множителей, дающих в произведении одно и то же число 111111, а именно:
З × (7 × 11 × 13 × 37) = З × 37037 = 111111
7 × (3 × 11 × 13 × 37) = 7 × 15873 = 111111
11 × (3 X 7 X 13 × 37)= 11 X 10101=111111
13 × (3 × 7 × 11 × 37) = 13 × 8547 = 111111
37 × (3 × 7 × 11 × 13) = 37 × 3003 = 111111
(3 × 7) × (11 × 13 × 37) = 21 × 5291 = 111111
(3 × 11) × (7 × 13 × 37) = 33 × 3367 = 111111
и т. д.Это значит, что вы можете засадить общество из 15 человек за работу умножения, и хотя каждый будет перемножать другую пару чисел, все получат один и тот же оригинальный результат: 111111. То же число, наконец, пригодно и для отгадывания задуманных чисел – наподобие того, как выполняется это с помощью чисел 1001 и 10101. В данном случае нужно предлагать задумывать число однозначное, т. е. цифру, и повторять 6 раз. Делителями здесь могут служить пять простых чисел: 3, 7, 11, 13, 37 и получающиеся из них составные: 21, 33, 39 и т. д. Это дает возможность до крайности разнообразить выполнение фокуса.
Числовые пирамиды
В следующих витринах галереи нас поражают числовые достопримечательности совсем особого рода – некоторое подобие пирамид, составленных из чисел. Рассмотрим поближе первую из таких пирамид.
Как объяснить эти своеобразные результаты умножения, эту странную закономерность?
Возьмем для примера какой-нибудь из средних рядов нашей числовой пирамиды 123456 × 9 + 7. Вместо умножения на 9 можно умножить на (10 – 1), т. е. приписать 0 и вычесть умножаемое:
Достаточно взглянуть на последнее вычитание, чтобы понять, почему тут получается результат, состоящий только из одних единиц.
Мы можем также понять это, исходя и из других рассуждений. Чтобы число вида 12345… превратилось в число вида 11111… нужно из второй его цифры вычесть 1, из третьей – 2, из четвертой – 3, из пятой – 4 и т. д. – иначе говоря, вычесть из него то же число вида 12345… но вдесятеро меньшее и предварительно уменьшенное на последнюю цифру. Теперь понятно, что для получения искомого результата нужно наше число умножить на 10, прибавить к нему следующую за последней цифру и вычесть из результата первоначальное число (умножить на 10 и отнять множимое значит умножить на 9). Сходным образом объясняется образование и следующей числовой пирамиды,
получающейся при умножении определенного ряда цифр на 8 и прибавлении последовательно возрастающих цифр. Особенно интересна в этой пирамиде последняя строка, где в результате умножения на 8 и прибавления 9 происходит превращение полного натурального ряда цифр в такой же ряд, но с обратным расположением.
Необходимость получения таких странных результатов уясняется из следующей строки [22] :
то есть 12345 × 8 + 5 = 111111 – 12346. Но, вычитая из числа 111111 число 12346, составленное из ряда возрастающих цифр, мы, как легко понять, должны получить ряд убывающих цифр 98765.
Обоснованность третьей числовой пирамиды, воспроизведенной здесь, есть прямое следствие существования
первых двух. Связь эта устанавливается очень легко. Из первой пирамиды мы знаем уже, что например:
12345 × 9 + 6 = 111111.
Умножив обе части на 8, имеем:
(12345 × 8 × 9) + (6 × 8) = 888888.
Но из второй пирамиды
