Объективное знание. Эволюционный подход

Теорема. Множество истинных высказываний любого достаточно богатого языка есть неаксиоматизируемая дедуктивная система в смысле исчисления систем Тарского.

Обе эти теоремы совершенно тривиальны и в дальнейшем изложении будет предполагаться, что рассматриваемые языки достаточно богаты, чтобы удовлетворять второй из них.

Теперь я введу новое понятие — понятие истинностного содержания высказывания a.

Определение. Множество всех истинных высказываний, следующих из любого данного высказывания a, называется истинностным содержанием a.Это — дедуктивная система.

Теорема. Истинностное содержание любого истинного высказывания A есть аксиоматизируемая система A_T= А; истинностное содержание любого ложного высказывания a есть дедуктивная система A_T?А, где A_T неаксиоматизируема, если только рассматриваемый язык-объект достаточно богат.

Это определение и эту теорему можно обобщить. Исчисление дедуктивных систем Тарского можно рассматривать как обобщение исчисления высказываний, поскольку каждому высказыванию (или классу логически эквивалентных высказываний) a соответствует (финитно) аксиоматизируемая система A,такая что

А=Cn(А)=Cn({а})

и наоборот: каждой аксиоматизируемой дедуктивной системе A соответствует некоторое высказывание (или класс логически эквивалентных высказываний) a. Поскольку же существуют также неаксиоматизируемые дедуктивные системы или классы следствий, такие что не существует высказываний или конечных классов высказываний, классом следствий которых они бы являлись, переход от высказываний к классам следствий или дедуктивным системам или от исчисления высказываний к исчислению систем можно назвать обобщением.

Таким образом, мы имеем — в более общем виде — для каждого класса следствий или дедуктивной системы A систему A_T — истинностное содержание A. Она совпадает с A, если и только если A состоит только из истинных высказываний, и в любом случае она есть подсистема A: очевидно, A_T есть произведение, или пересечение, множеств А и T.

Можно задать вопрос: соответствует ли истинностному содержанию А_Т высказывания a или дедуктивной системы A также нечто, что можно было бы назвать ложностным содержанием А_F высказывания а или дедуктивной системы A? Кажется естественным определить ложностное содержание дедуктивной системы A как класс всех ложных высказываний, принадлежащих A, но это будет не вполне удовлетворительно, если мы хотим использовать (как я предлагаю) термин «содержание» как третий синоним к терминам «дедуктивная система» и «класс следствий». Ведь этот класс, состоящий, по предположению, только из ложных высказываний, не является дедуктивной системой: всякая дедуктивная система A содержит истинные высказывания — собственно говоря, бесконечное число истинных высказываний, — так что класс, состоящий исключительно из ложных высказываний, принадлежащих A, не может быть содержанием.

Чтобы ввести понятие ложностного содержания А_F высказывания a или класса следствий A, можно обратиться к понятию относительного содержания A при данном B, которое можно ввести как обобщение дедуктивной системы в смысле Тарского, или (абсолютного) содержания A=Cn(A).Я попытаюсь разъяснить это понятие, и ввиду возможной интуитивной критики я введу также понятие меры содержания. В конце этой главы я введу с помощью понятия мер истинностного содержания и ложностного содержания понятие степени приближения к истине, или правдоподобности (verisimilitude).

VI

Тарский говорит о больших или меньших дедуктивных системах или классах следствий. Действительно, множество дедуктивных систем (для некоторого языка) частично упорядочено отношением включения, совпадающим с отношением выводимости. Следующее замечание, высказанное Тарским в его работе об исчислении систем, можно использовать как ключ к релятивизации классов следствий, или содержаний, или дедуктивных систем: «среди дедуктивных систем существует наименьшая, то есть являющаяся подсистемой всех других дедуктивных систем. Это система Cn(0)— множество следствий пустого множества. Эта система, которая здесь для краткости будет обозначаться L, может интерпретироваться как множество всех логически верных (valid) предложений (или, в более общем виде, как множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить дедуктивную теорию, являющуюся предметом... нашего исследования)» [310].

Это наводит на мысль, что мы можем использовать вместо нулевой системы L какую-то другую систему «в качестве множества всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала, когда принимаемся строить, и т.д.». Обозначим, как и ранее, дедуктивную систему, содержанием которой мы интересуемся, переменной 'A', а «множество всех тех предложений, которые мы признаем за истинные с самого начала», переменной 'B'. Тогда мы можем написать выражение

Cn(А,В)

как релятивизацию (relativization) Cn(А) Тарского, которое является особым случаем при В= L = Cn(0):

Cn(А)=Cn(A,L).

Мы можем писать сокращенно 'A,B' вместо 'Cn(A,B)', точно так же, как Тарский пишет 'A' вместо 'Cn(A)'.Процитированный отрывок из Тарского подсказывает следующее определение:

Определение: А,В=Cn(А,В) = Cn (A+B) - Cn(B).

А отсюда очевидным образом следует

Теорема:

A=Cn(A)=A,L=Cn(А,L)=Cn(A+L)-Cn(L).