Информатика и информационные технологии: конспект лекций

одном направлении.

Если пройти от корня дерева к некоторому конкретному узлу, то количество ветвей дерева, которое при этом будет пройдено, называется длиной пути для этого узла. Если все ветви (узлы) у дерева упорядочены, то дерево называется упорядоченным.

Частным случаем древовидных структур являются бинарные деревья. Это деревья, в которых каждый потомок имеет не более двух потомков, называемых левым и правым поддеревьями. Таким образом, бинарное дерево – это древовидная структура, степень которой равна двум.

Упорядоченность бинарного дерева определяется по следующему правилу: каждому узлу соответствует свое ключевое поле, и для каждого узла значение ключа больше всех ключей в его левом поддереве и меньше всех ключей в его правом поддереве.

Дерево, степень которого больше двух, называется сильноветвящимся.

2. Операции над деревьями

Далее будем рассматривать все операции применительно к бинарным деревьям.

I. Построение дерева

Приведем алгоритм построения упорядоченного дерева.

1. Если дерево пусто, то данные переносятся в корень дерева. Если же дерево не пусто, то осуществляется спуск по одной из его ветвей таким образом, чтобы упорядоченность дерева не нарушалась. В результате новый узел становится очередным листом дерева.

2. Чтобы добавить узел в уже существующее дерево, можно воспользоваться вышеприведенным алгоритмом.

3. При удалении узла из дерева следует быть внимательным. Если удаляемый узел является листом, или же имеет только одного потомка, то операция проста. Если же удаляемый узел имеет двух потомков, то необходимо будет найти узел среди его потомков, который можно будет поставить на его место. Это нужно в силу требования упорядоченности дерева.

Можно поступить таким образом: поменять удаляемый узел местами с узлом, имеющем самое большое значение ключа в левом поддереве, или с узлом, имеющем самое малое значение ключа в правом поддереве, а затем удалить искомый узел как лист.

II. Поиск узла с заданным значением ключевого поля

При осуществлении этой операции необходимо совершить обход дерева. Необходимо учитывать различные формы записи дерева: префиксную, инфиксную и постфиксную.

Возникает вопрос: каким образом представить узлы дерева, чтобы было наиболее удобно работать с ними? Можно представлять дерево с помощью массива, где каждый узел описывается величиной комбинированного типа, у которой информационное поле символьного типа и два поля ссылочного типа. Но это не совсем удобно, так как деревья имеют большое количество узлов, заранее не определенное. Поэтому лучше всего при описании дерева использовать динамические переменные. Тогда каждый узел представляется величиной одного типа, которая содержит описание заданного количества информационных полей, а количество соответствующих полей должно быть равно степени дерева. Логично отсутствие потомков определять ссьшкой nil. Тогда на языке Pascal описание бинарного дерева может выглядеть следующим образом:

TYPE TreeLink = ^Tree;

Tree = record;

Inf : <тип данных>;

Left, Right : TreeLink;

End.

3. Примеры реализации операций

1. Построить дерево из n узлов минимальной высоты, или идеально сбалансированное дерево (количество узлов левого и правого поддеревьев такого дерева должны отличаться не более чем на единицу).

Рекурсивный алгоритм построения:

1) первый узел берется в качестве корня дерева.

2) тем же способом строится левое поддерево из nl узлов.

3) тем же способом строится правое поддерево из nr узлов;

nr = n – nl – 1. В качестве информационного поля будем брать номера узлов, вводимые с клавиатуры. Рекурсивная функция, реализующая данное построение, будет выглядеть следующим образом:

Function Tree(n : Byte) : TreeLink;

Var t : TreeLink; nl,nr,x : Byte;

Begin

If n = 0 then Tree := nil

Else

Begin

nl := n div 2;

nr = n – nl – 1;

writeln('Введите номер вершины ');

readln(x);

new(t);

t^.inf := x;

t^.left := Tree(nl);

t^.right := Tree(nr);

Tree := t;

End;

{Tree}

End.

2. В бинарном упорядоченном дереве найти узел с заданным значением ключевого поля. Если такого элемента в дереве нет, то добавить его в дерево.

Procedure Search(x : Byte; var t : TreeLink);

Begin

If t = nil then

Begin

New(t);

t^inf := x;

t^.left := nil;

t^.right := nil;

End

Else if x < t^.inf then

Search(x, t^.left)

Else if x > t^.inf then

Search(x, t^.right)

Else

Begin

{обработка найденного элемента}

…

End;

End.

3. Написать процедуры обхода дерева в прямом, симметричном и обратном порядке соответственно.

3.1. Procedure Preorder(t : TreeLink);

Begin

If t <> nil then

Begin

Writeln(t^.inf);