Сборник задач по математике с решениями для поступающих в вузы

ежегодно воспроизводился. Содержание курса выпускник должен был знать досконально, а, решая задачи, не перегружать рассуждения доказательством теорем, на которые просто требовалась ссылка. Сейчас учебников много, а в их построении появилось разнообразие. Поэтому подобная жесткость со стороны экзаменатора во многих случаях стала невозможной. В рассуждениях появилось больше свободы, они стали более обыденными и менее таинственными. При очень экономном использовании теоретического курса решение задачи может стать менее понятным. Оно не получает необходимого отклика со стороны уже приобретенного учащимся опыта и не находит необходимой интуитивной поддержки.

Не всегда решить задачу удается так же просто, как в двух рассмотренных примерах. Бывает, что приходится выбирать из нескольких возможных вариантов перевода содержательной задачи на язык математических соотношений. При этом выбор может оказаться неудачным. Приходится отступить и начать сначала. В процессе подготовки к экзаменам вам и предстоит научиться делать правильный выбор в ситуациях, близких к стандартным.

И еще: вам предстоит вести правильный диалог с экзаменатором на устном экзамене и с самим собой — на письменном. Экзаменатор, вслушиваясь в ваш ответ на билет, время от времени будет задавать один и тот же вопрос: «Почему?». Не следует удивляться непонятливости вашего экзаменатора. Он задает этот вопрос, чтобы помочь вам. Вы должны были задать этот вопрос себе сами и своевременно на него ответить. Возможно, вы сочли эту подробность излишней, само собой разумеющейся. Тогда вам нужно правильно ответить на вопрос экзаменатора, и он будет удовлетворен. Но не исключено, что правильного ответа вы попросту не знаете. Первым сигналом неблагополучия станет для экзаменатора ваш недовольный тон. Мол, неужели этот факт не очевиден? Еще хуже, если вы начнете прямо агитировать экзаменатора, призывая его стать

сторонником вашей точки зрения, в справедливости которой вы, конечно же, не сомневаетесь. Выбор средств убеждения бывает у абитуриентов весьма широким. Нет смысла их перечислять, ибо все они, за небольшим исключением, напрасны. Позднее на апелляции абитуриент будет утверждать, что отвечал правильно и полно. Он будет и впредь уверен в своей правоте, если не усвоит, что, во-первых, вопрос «Почему?» экзаменатор задает не из любопытства и не из вредности, а из желания добиться от вас полного ответа на вопрос или обоснованного решения задачи. Во-вторых, вы обязаны знать, что в математике существует ровно шесть различных ответов на вопрос «Почему?». Вот эти ответы:

1) по условию (теоремы, задачи);

2) по сделанному нами предположению;

3) по определению;

4) в силу такой-то аксиомы;

5) в силу такой-то теоремы (следствия, свойства, формулы, соотношения, леммы — тоже являются теоремами);

6) приступаем к доказательству.

Только шестой из этих вариантов позволяет начать ответ словами «Потому что...». Это и означает, что вы приступаете к доказательству. Но даже в этом случае лучше этих слов не произносить, а сказать: «Сейчас мы это утверждение докажем.». Тем более не следует говорить: «Потому что.», когда требуется одна из первых пяти форм ответа на вопрос «Почему?».

Приведем несколько примеров.

Пример 1. Почему квадрат корня квадратного из неотрицательного числа равен самому этому числу? Другими словами, почему

(va)? = a?

Ответ. По определению квадратного корня.

Пример 2. Почему

Ответ. По определению логарифма.

Вспомните определение квадратного корня: квадратным корнем из неотрицательного числа а (а ? 0) называют неотрицательное число va , квадрат которого равен а.

А теперь повторите определение логарифма: логарифмом положительного числа N (N > 0) по положительному и не равному единице основанию а (а > 0, а ? 1) называют такое число log_a N, что основание а в степени log_a N равно N. Мы убедились в том, что обе формулы (из примеров 1 и 2) представляют собой не что иное, как формальную запись определений квадратного корня и логарифма, соответственно.

Пример 3. Почему две параллельные прямые лежат в одной плоскости?

Ответ. По определению параллельных прямых.

Пример 4. Почему сумма внутренних углов треугольника равна 180°?

Ответ. По теореме о сумме углов треугольника.

Пример 5. Почему сумма всех нечетных чисел, начиная с 1 до 2n + 1, равна квадрату натурального числа n?

Отвечая на этот вопрос, мы не можем сослаться на одну из теорем курса. Поэтому нужно приступить к доказательству. Вы найдете его в главе, посвященной математической индукции.

Задачи

Глава 1 Геометрические задачи на плоскости

Обозначения: а, b, с — стороны треугольника; А, В, С — углы, лежащие против этих сторон, соответственно; m_а — медиана стороны а; l_A — биссектриса угла А; h_a — высота, опущенная на сторону а; R — радиус описанной окружности; r — радиус вписанной окружности; P = 2р — периметр многоугольника.

Длиной биссектрисы внешнего угла А треугольника называется отрезок биссектрисы, заключенный между точкой А и точкой пересечения биссектрисы с продолжением стороны а.

Отношение площадей двух треугольников, имеющих общий угол, равно отношению произведений сторон, заключающих этот общий угол.

Имеет место формула, выражающая длину медианы треугольника через длины его сторон:.

Если в многоугольник можно вписать окружность, то его площадь S = pr.