проектам, заявкам на выполнение научно-исследовательских работ, идеям, проблемам, программам, политикам и т.п., а затем рассчитывают средние баллы и рассматривают их как интегральные оценки, выставленные коллективом опрошенных. Какими формулами пользоваться для вычисления средних величин? Обычно применяют среднее арифметическое. Мы уже более 25 лет знаем, что такой способ некорректен, поскольку баллы обычно измерены в порядковой шкале (см.выше). Обоснованным является использование медиан в качестве средних баллов. Однако полностью игнорировать средние арифметические нецелесообразно из-за их распространенности. Поэтому целесообразно использовать одновременно оба метода - и метод средних арифметических рангов (баллов), и методов медианных рангов. Такая рекомендация находится в согласии с концепцией устойчивости [2], рекомендующей использовать различные методы для обработки одних и тех же данных с целью выделить выводы, получаемые одновременно при всех методах.
4.1. Пример сравнения восьми проектов
Рассмотрим конкретный пример применения только что сформулированного подхода.
Анализировались восемь проектов, предлагаемых для включения в план стратегического развития фирмы, обозначенные следующим образом: Д, Л, М-К, Б, Г-Б, Сол, Стеф, К (по фамилиям менеджеров, предложивших их для рассмотрения). Все проекты были направлены 12 экспертам, назначенным Правлением фирмы. В приведенной ниже табл.2 приведены ранги восьми проектов, присвоенные им каждым из 12 экспертов в соответствии с их представлением о целесообразности включения проекта в стратегический план фирмы (ранг 1 - самый лучший проект, который обязательно надо реализовать, ранг 2 - второй по привлекательности проект, ... , ранг 8 - наиболее сомнительный проект, который реализовывать стоит лишь в последнюю очередь).
Табл. 2. Ранги 8 проектов по степени привлекательности для включения в план
стратегического развития фирмы
--- Table start------------------------------------------------------------? эксперта
|
Д
|
Л
|
М-К
|
Б
|
Г-Б
|
Сол
|
Стеф
|
К
| ---------------------------------------------------------------------------
1
|
5
|
3
|
1
|
2
|
8
|
4
|
6
|
7
| ---------------------------------------------------------------------------
2
|
5
|
4
|
3
|
1
|
8
|
2
|
6
|
7
| ---------------------------------------------------------------------------
3
|
1
|
7
|
5
|
4
|
8
|
2
|
3
|
6
| ---------------------------------------------------------------------------
4
|
6
|
4
|
2,5
|
2,5
|
8
|
1
|
7
|
5
| ---------------------------------------------------------------------------
5
|
8
|
2
|
4
|
6
|
3
|
5
|
1
|
7
| ---------------------------------------------------------------------------
6
|
5
|
6
|
4
|
3
|
2
|
1
|
7
|
8
| ---------------------------------------------------------------------------
7
|
6
|
1
|
2
|
3
|
5
|
4
|
8
|
7
| ---------------------------------------------------------------------------
8
|
5
|
1
|
3
|
2
|
7
|
4
|
6
|
8
| ---------------------------------------------------------------------------
9
|
6
|
1
|
3
|
2
|
5
|
4
|
7
|
8
| ---------------------------------------------------------------------------
10
|
5
|
3
|
2
|
1
|
8
|
4
|
6
|
7
| ---------------------------------------------------------------------------
11
|
7
|
1
|
3
|
2
|
6
|
4
|
5
|
8
| ---------------------------------------------------------------------------
12
|
1
|
6
|
5
|
3
|
8
|
4
|
2
|
7
| --- Table end--------------------------------------------------------------
Примечание. Эксперт ? 4 считает, что проекты М-К и Б равноценны, но уступают лишь одному проекту - проекту Сол. Поэтому проекты М-К и Б должны были бы стоять на втором и третьем местах и получить баллы 2 и 3. Поскольку они равноценны, то получают средний балл (2+3)/ 2 = 5/ 2 = 2,5.
Анализируя результаты работы экспертов (табл.2), члены Правления фирмы были вынуждены констатировать, что полного согласия между экспертами нет, а потому данные, приведенные в табл.2, следует подвергнуть более тщательному математическому анализу.
4.2. Метод средних арифметических рангов
Сначала был применен метод средних арифметических рангов. Для этого была подсчитана сумма рангов, присвоенных проектам (см. табл.3). Затем эта сумма была разделена на число экспертов, в результате найден средний арифметический ранг (именно эта операция дала название методу). По средним рангам строится итоговая ранжировка, исходя из принципа - чем меньше средний ранг, чем лучше проект. Наименьший средний ранг, равный 2,625, у проекта Б, - следовательно, в итоговой ранжировке он получает ранг 1. Следующая по величине сумма, равная 3,125, у проекта М-К, - и он получает итоговый ранг 2. Проекты Л и Сол имеют одинаковые суммы (равные 3,25), значит, с точки зрения экспертов они равноценны (при рассматриваемом способе сведения вместе мнений экспертов), а потому они должны бы стоять на 3 и 4 местах и получают средний балл (3+4) /2 = 3,5. Дальнейшие результаты приведены в табл.3.
Итак, ранжировка по суммам рангов (или, что то же, по средним арифметическим рангам) имеет вид:
Б < М-К < {Л, Сол} < Д < Стеф < Г-Б < К . (3)
Здесь запись типа 'А<Б' означает, что проект А предшествует проекту Б (т.е. проект А лучше проекта Б). Поскольку модели Л и Сол получили одинаковую сумму баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), выделенную фигурными скобками. В терминологии математической статистики ранжировка (3) имеет одну связь.
Табл. 3. Результаты расчетов по методу средних арифметических и методу
медиан для данных, приведенных в табл.2
--- Table start------------------------------------------------------------ | Д | Л | М-К | Б | Г-Б | Сол | Стеф | К | ---------------------------------------------------------------------------Сумма рангов | 60 | 39 | 37,5 | 31.5 | 76 | 39 | 64 | 85 | ---------------------------------------------------------------------------Средн. арифм.ранг | 5 | 3,25 | 3,125 | 2,625 | 6,333 | 3,25 | 5,333 | 7,083 | --------------------------------------------------------------------------- Итоговый ранг по средн. арифм. | 5 | 3,5 | 2 | 1 | 7 | 3,5 | 6 | 8 | ---------------------------------------------------------------------------Медианы рангов | 5 | 3 | 3 | 2,25 | 7,5 | 4 | 6 | 7 | ---------------------------------------------------------------------------Итоговый ранг по медианам | 5 | 2,5 | 2,5 | 1 | 8 | 4 | 6 | 7 | --- Table end--------------------------------------------------------------
4.3. Метод медиан рангов
Значит, наука сказала вое слово, итог расчетов - ранжировка (1), и на ее основе предстоит принимать решение? Но тут наиболее знакомый с современной эконометрикой член Правления вспомнил то, о чем мы говорили в предыдущем разделе. Он вспомнил, что ответы экспертов измерены в порядковой шкале и что для них неправомерно проводить усреднение методом средних арифметических. Надо использовать метод медиан.
Что это значит? Надо взять ответы экспертов, соответствующие одному из проектов, например, проекту Д. Это ранги 5, 5, 1, 6, 8, 5, 6, 5, 6, 5, 7, 1. Затем их надо расположить в порядке неубывания. Получим: 1, 1, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 8. На центральных местах - шестом и седьмом - стоят 5 и 5. Следовательно, медиана равна 5.
Медианы совокупностей из 12 рангов, соответствующих определенным проектам, приведены в предпоследней строке табл.3. (При этом медианы вычислены по обычным правилам статистики - как среднее арифметическое центральных членов вариационного ряда.) Итоговое упорядочение по методу медиан приведено в последней строке таблицы. Ранжировка по медианам имеет вид:
Б < {М-К, Л} < Сол < Д < Стеф < К <Г-Б . (4)
Поскольку проекты Л и М-К имеют одинаковые медианы баллов, то по рассматриваемому методу ранжирования они эквивалентны, а потому объединены в группу (кластер), т.е. с точки зрения
